Упр.927 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полёт самолёта сначала на $$300\ \text{км}$$ на юг от города $$А$$ до $$В$$, а потом на $$500\ \text{км}$$ на восток от города $$В$$ до $$С$$. Затем начертите вектор $$\overrightarrow{АС}$$, который изображает перемещение из начальной точки в конечную.
2. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Пусть $$\vec a=(x_1;y_1)$$ и $$\vec b=(x_2;y_2)$$.

Если векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, то по свойству коллинеарных векторов существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a=k\vec b.$$

Тогда для координат получаем:

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2.$$

Следовательно,

$$\frac{x_1}{x_2}=k,\qquad \frac{y_1}{y_2}=k,$$

то есть координаты одного вектора пропорциональны координатам другого:

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}.$$

Обратное утверждение: если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то эти векторы коллинеарны.

Действительно, пусть

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k.$$

Тогда

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2,$$

а значит,

$$\vec a=k\vec b.$$

По определению коллинеарных векторов, $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.