Упр.927 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полёт самолёта сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор АС, который изображает перемещение из начальной точки в конечную. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Выберем масштаб, например $$1\text{ см}=100\text{ км}.$$ Тогда отрезок, изображающий путь от $$A$$ до $$B$$ на юг, будет равен $$3\text{ см},$$ а от $$B$$ до $$C$$ на восток — $$5\text{ см}.$$ Начертим сначала вектор $$\overrightarrow{AB},$$ затем из точки $$B$$ — вектор $$\overrightarrow{BC}.$$ После этого соединим точки $$A$$ и $$C$$: вектор $$\overrightarrow{AC}$$ изображает перемещение из начальной точки в конечную.

Докажем утверждение.

Пусть $$\vec a=(x_1;y_1)$$ и $$\vec b=(x_2;y_2)$$ — коллинеарные векторы. Тогда по свойству коллинеарных векторов существует число $$k,$$ такое что

$$\vec a=k\vec b.$$

Следовательно,

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2.$$

Отсюда

$$\frac{x_1}{x_2}=k,\qquad \frac{y_1}{y_2}=k,$$

то есть координаты одного вектора пропорциональны координатам другого:

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}.$$

Докажем обратное утверждение: если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то эти векторы коллинеарны.

Пусть

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k.$$

Тогда

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2,$$

значит,

$$\vec a=k\vec b.$$

По признаку коллинеарности векторов это означает, что $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Ответ

Если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Обратно: если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то эти векторы коллинеарны.