Упр.924 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки А, В и М, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведённые из одной вершины.
2. Найдите координаты векторов $$2\vec a,\ 3\vec a,\ -\vec a,\ -3\vec a$$, если $$\vec a=\{3;\ 2\}$$.

Пусть через точку $$A$$ проходит высота, через точку $$B$$ — биссектриса, через точку $$M$$ — медиана, проведённые из одной вершины треугольника.

Построим искомый треугольник.

1. Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную $$BO$$. Точку её пересечения с окружностью обозначим через $$E$$.
2. Соединим точки $$E$$ и $$M$$. Прямую $$EM$$ пересечём с $$BO$$ в точке $$M_1$$.
3. Через точку $$M_1$$ проведём прямую, перпендикулярную $$BO$$. Точки её пересечения с окружностью обозначим через $$F$$ и $$D$$.

Тогда искомый треугольник — $$\triangle EFD$$.

Действительно, прямая $$BO$$ задаёт направление биссектрисы, а построенная через $$A$$ параллельная ей прямая даёт положение высоты. Точка $$M_1$$ получается как пересечение медианы с биссектрисой, а перпендикуляр через $$M_1$$ к $$BO$$ задаёт сторону, перпендикулярную высоте. Поэтому треугольник $$EFD$$ удовлетворяет условию задачи.