Упр.922 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку.
2. Найдите координаты вектора $$a+b$$, если:
   а) $$a\{3; 2\},\ b\{2; 5\}$$;
   б) $$a\{3; -4\},\ b\{1; 5\}$$;
   в) $$a\{-4; -2\},\ b\{5; 3\}$$;
   г) $$a\{2; 7\},\ b\{-3; -7\}$$.

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$M$$ — данная точка внутри неё.

Чтобы хорда, проходящая через точку $$M$$, была наименьшей, она должна быть перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.

Построим диаметр $$OM$$ и через точку $$M$$ проведём прямую, перпендикулярную $$OM$$. Точки пересечения этой прямой с окружностью обозначим $$A$$ и $$B$$. Тогда хорда $$AB$$ — искомая.

Почему это так: чем ближе хорда к центру окружности, тем она короче. Среди всех хорд, проходящих через точку $$M$$, наименьшей будет та, которая расположена ближе всего к центру, то есть перпендикулярна радиусу $$OM$$.

Ответ

Искомая хорда — $$AB$$, где $$AB \perp OM$$.