Упр.921 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны окружность с центром $$О$$, точка $$М$$ и отрезки $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$. Постройте прямую $$р$$ так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную $$P_1Q_1$$, и расстояние от точки $$М$$ до прямой $$р$$ равнялось $$P_2Q_2$$.
Найдите числа $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющие условию:

а) $$x\vec{i}+y\vec{j}=5\vec{i}-2\vec{j}$$;

б) $$-3\vec{i}+y\vec{j}=x\vec{i}+7\vec{j}$$;

в) $$x\vec{i}+y\vec{j}=-4\vec{i}$$;

г) $$x\vec{i}+y\vec{j}=0$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$r$$ искомую прямую.

Чтобы окружность с центром $$O$$ отсекала на прямой $$r$$ хорду, равную $$P_1Q_1$$, достаточно построить на окружности хорду $$AB$$ такую, что $$AB=P_1Q_1$$, и провести через её середину перпендикуляр к радиусу, проходящему через эту середину: любая прямая, находящаяся на одинаковом расстоянии от центра окружности, отсекает равные хорды.

Построение:

Отметим произвольную точку $$A$$ на окружности и построим хорду $$AB$$, равную $$P_1Q_1$$.
Найдём середину $$C$$ отрезка $$AB$$.
Построим окружность с центром $$M$$ и радиусом $$P_2Q_2$$.
Проведём общую касательную $$r$$ к окружностям $$(O;OC)$$ и $$(M;P_2Q_2)$$.

Тогда расстояние от точки $$M$$ до прямой $$r$$ равно $$P_2Q_2$$, а хорда, которую окружность с центром $$O$$ отсекает на прямой $$r$$, равна $$P_1Q_1$$.