Упр.919 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).
- Выпишите координаты векторов $$a=2i+3j$$, $$b=-\frac{1}{2}i+2j$$, $$c=8i$$, $$d=i-j$$, $$e=-2j$$, $$f=-i$$.
Обозначим через $$E,$$ $$F,$$ $$G$$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $$D$$ на прямые $$AB,$$ $$AC,$$ $$BC$$ соответственно. Докажем, что точки $$E,$$ $$F,$$ $$G$$ лежат на одной прямой.
Рассмотрим четырёхугольник $$AEFD$$. Так как $$DE \perp AB$$ и $$F \in AC,$$ то $$\angle AED = 90^\circ$$, а также $$\angle AFD = 90^\circ$$. Следовательно,
$$\angle AED + \angle AFD = 180^\circ,$$
значит, точки $$A, E, F, D$$ лежат на одной окружности. Тогда равны углы, опирающиеся на одну и ту же дугу:
$$\angle AFE = \angle ADE.$$
Аналогично рассмотрим четырёхугольник $$DFCG$$. Поскольку $$DG \perp BC$$ и $$DF \perp AC,$$ то
$$\angle DGC = 90^\circ,\qquad \angle DFC = 90^\circ,$$
следовательно, точки $$D, F, C, G$$ лежат на одной окружности, и потому
$$\angle CFG = \angle CDG.$$
Теперь рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$. Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной окружности, то
$$\angle BAD = \angle DCB.$$
С другой стороны, углы $$\angle DCB$$ и $$\angle DCG$$ смежные, поэтому
$$\angle DCG = 180^\circ — \angle DCB.$$
Тогда
$$\angle EAD = \angle BAD = 180^\circ — \angle DCB = \angle DCG.$$
Но из прямоугольных треугольников имеем
$$\angle AFE = 90^\circ — \angle EAD,$$
$$\angle CFG = 90^\circ — \angle DCG.$$
Так как $$\angle EAD = \angle DCG,$$ то
$$\angle AFE = \angle CFG.$$
Следовательно, точки $$E, F, G$$ лежат на одной прямой.
Ответ
Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, на прямые, содержащие его стороны, лежат на одной прямой.
