Упр.918 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Для неравностороннего треугольника ABC точка О является центром описанной окружности, Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты AA1, ВВ1 и СС1, точки А2, В2, С2 — середины отрезков АН, ВН, СН, а точки А3, В3, С3 — середины сторон треугольника ABC. Докажите, что точки A1, B1, C1, А2, В2, С2, А3, В3, С3 лежат на одной окружности (окружность Эйлера). Разложите векторы а, b, с, d, е и f, изображённые на рисунке 276, а, б, в, по координатным векторам i и j и наидите их координаты.

Пусть $$M$$ — середина отрезка $$OH$$. Тогда прямая $$MN$$ перпендикулярна $$AC$$, а значит, $$MN \parallel OB_3$$. Следовательно, по теореме Фалеса

$$B_1N = NB_3.$$

Тогда в треугольниках $$\triangle B_1MN$$ и $$\triangle B_3MN$$ равны соответствующие катеты, поэтому

$$MB_1 = MB_3.$$

Пусть теперь $$B_4$$ — точка, симметричная точке $$H$$ относительно прямой $$AC$$. Тогда в треугольнике $$OHB_4$$ отрезок $$MB_1$$ является средней линией, значит

$$MB_1 = \frac{OB_4}{2}.$$

Так как $$B_4$$ лежит на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$, то $$OB_4 = R$$, где $$R$$ — радиус этой окружности. Следовательно,

$$MB_1 = \frac{R}{2}.$$

Аналогично получаем

$$MB_2 = \frac{R}{2}, \qquad MB_3 = \frac{R}{2}.$$

Точно так же доказывается, что

$$MA_1 = MA_2 = MA_3 = \frac{R}{2},$$

$$MC_1 = MC_2 = MC_3 = \frac{R}{2}.$$

Значит, все точки $$A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3, C_1, C_2, C_3$$ равноудалены от точки $$M$$ и лежат на одной окружности с центром $$M$$ и радиусом $$\frac{R}{2}$$. Это и есть окружность Эйлера.

Для векторов по рисунку получаем:

$$\vec a = 2\vec i + 3\vec j,\qquad \vec a = \{2;3\}$$

$$\vec b = -2\vec i + 3\vec j,\qquad \vec b = \{-2;3\}$$

$$\vec c = 2\vec i,\qquad \vec c = \{2;0\}$$

$$\vec d = -3\vec i — 4\vec j,\qquad \vec d = \{-3;-4\}$$

$$\vec e = 2\vec i — 2\vec j,\qquad \vec e = \{2;-2\}$$

$$\vec f = -4\vec i — 5\vec j,\qquad \vec f = \{-4;-5\}$$

Ответ

Точки $$A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3, C_1, C_2, C_3$$ лежат на одной окружности — окружности Эйлера с центром в точке $$M$$ и радиусом $$\frac{R}{2}$$.

$$\vec a=\{2;3\},\ \vec b=\{-2;3\},\ \vec c=\{2;0\},\ \vec d=\{-3;-4\},\ \vec e=\{2;-2\},\ \vec f=\{-4;-5\}$$