Упр.918 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Для неравностороннего треугольника $$ABC$$ точка $$O$$ является центром описанной окружности, $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, точки $$A_2$$, $$B_2$$, $$C_2$$ — середины отрезков $$AH$$, $$BH$$, $$CH$$, а точки $$A_3$$, $$B_3$$, $$C_3$$ — середины сторон треугольника $$ABC$$. Докажите, что точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$, $$A_2$$, $$B_2$$, $$C_2$$, $$A_3$$, $$B_3$$, $$C_3$$ лежат на одной окружности (окружность Эйлера).
- Задание учебника 2023 года. Разложите векторы $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$, $$e$$ и $$f$$, изображённые на рисунке 276, а, б, в, по координатным векторам $$i$$ и $$j$$ и найдите их координаты.
Пусть $$M$$ — середина отрезка $$OH$$. Проведём через $$M$$ прямую, параллельную $$AC$$; обозначим её как $$MN$$.
Так как $$H$$ — ортоцентр треугольника $$ABC$$, то $$BH \perp AC$$. Следовательно, $$BH \parallel MN$$. Кроме того, прямая, проходящая через центр описанной окружности и середину хорды, перпендикулярна этой хорде, значит $$OB_3 \perp AC$$, откуда $$OB_3 \parallel MN$$.
Тогда в четырёхугольнике $$B_1NB_3M$$ противоположные стороны попарно параллельны, значит это параллелограмм. Поэтому $$MB_1=NB_3$$.
Рассмотрим треугольник $$OB_4H$$, где $$B_4$$ — точка, симметричная точке $$H$$ относительно прямой $$AC$$. Отрезок $$MB_1$$ является средней линией этого треугольника, поэтому
$$MB_1=\frac{OB_4}{2}.$$
Так как $$B_4$$ лежит на описанной окружности треугольника $$ABC$$, то $$OB_4=R$$, где $$R$$ — радиус этой окружности. Значит,
$$MB_1=\frac{R}{2}.$$
Аналогично получаем:
$$MB_2=\frac{R}{2}, \qquad MB_3=\frac{R}{2}.$$
Точно так же для точек $$A_1, A_2, A_3$$ и $$C_1, C_2, C_3$$ имеем
$$MA_1=MA_2=MA_3=\frac{R}{2},$$
$$MC_1=MC_2=MC_3=\frac{R}{2}.$$
Следовательно, все точки $$A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3, C_1, C_2, C_3$$ равноудалены от точки $$M$$ и лежат на одной окружности с центром в $$M$$ и радиусом $$\frac{R}{2}$$. Это и есть окружность Эйлера.
