Упр.917 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в любом треугольнике радиус $$R$$ описанной окружности, радиус $$r$$ вписанной окружности и расстояние $$d$$ между центрами этих окружностей связаны равенством $$d^2=R^2-2Rr$$ (формула Эйлера).
2. Начертите прямоугольную систему координат $$Oxy$$ и координатные векторы $$\vec i$$ и $$\vec j$$. Постройте векторы с началом в точке $$O$$, заданные координатами $$\vec a=(3;0)$$, $$\vec b=(2;-1)$$, $$\vec c=(0;-3)$$, $$\vec d=(1;1)$$, $$\vec e=(2;\sqrt{2})$$.

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности, $$M$$ — центр вписанной окружности, $$R$$ — радиус описанной окружности, $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$d=OM$$.

Проведём через точку $$M$$ диаметр $$PQ$$ описанной окружности и биссектрисы $$AM$$ и $$BM$$. Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ вторые точки пересечения биссектрис $$AM$$ и $$BM$$ с описанной окружностью.

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд имеем

$$PM\cdot MQ=AM\cdot MA_1.$$

Так как $$PM=R+d$$, $$MQ=R-d$$, то

$$(R+d)(R-d)=AM\cdot MA_1.$$

Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle BMA_1=\frac{\angle BA_1+\angle AB_1}{2}=\frac{\angle A_1C+\angle B_1A}{2}=\angle MBA_1,$$

значит, $$\triangle MA_1B$$ равнобедренный, и потому

$$AM\cdot BA_1=AM\cdot A_1A.$$

Проведём диаметр $$A_1A_2$$ описанной окружности; пусть $$K$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$. Тогда $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle AMK$$ — прямоугольные, а

$$\angle A_1A_2B=\angle MAK=\frac12\angle B A_1A.$$

Следовательно, $$\triangle A_1A_2B\sim \triangle AMK$$, откуда

$$MK:BA_1=AM:A_1A.$$

Так как $$MK=r$$, а $$A_1A=2R$$, получаем

$$AM\cdot BA_1=2Rr.$$

Тогда из равенства $$(R+d)(R-d)=AM\cdot MA_1$$ имеем

$$(R+d)(R-d)=2Rr,$$

то есть

$$R^2-d^2=2Rr.$$

Следовательно,

$$d^2=R^2-2Rr.$$

Ответ: $$d^2=R^2-2Rr$$.