Упр.916 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
- Векторы $$\mathbf{a}$$ и $$\mathbf{b}$$ не коллинеарны. Найдите числа $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющие равенству:
а) $$3\mathbf{a}-x\mathbf{b}=y\mathbf{a}+\mathbf{b}$$;
б) $$4\mathbf{a}-x\mathbf{a}+5\mathbf{b}+y\mathbf{b}=0$$;
в) $$x\mathbf{a}+3\mathbf{b}-y\mathbf{b}=0$$;
г) $$\mathbf{a}+\mathbf{b}-3y\mathbf{a}+x\mathbf{b}=0$$.
Обозначим диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ через $$AC$$ и $$BD$$. Проведём диагональ $$AC$$ и отметим на ней точку $$E$$ так, что $$\angle ABE=\angle DBC$$.
Тогда, так как точки $$A,E,C$$ лежат на одной прямой, имеем $$\angle BAE=\angle BAC$$. В вписанном четырёхугольнике $$\angle BAC=\angle BDC$$, а также $$\angle ABE=\angle DBC$$. Следовательно, $$\triangle ABE \sim \triangle DBC$$ по двум углам. Отсюда
$$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{CD},$$
то есть
$$AB\cdot CD=AE\cdot BD.$$
Далее рассмотрим треугольники $$BCE$$ и $$BDA$$. Так как $$\angle BCE=\angle BCA=\angle BDA$$, а
$$\angle EBC=\angle ABD=\angle ABE+\angle EBD,$$
то $$\triangle BCE \sim \triangle BDA$$. Значит,
$$\frac{BC}{BD}=\frac{CE}{AD},$$
откуда
$$BC\cdot AD=CE\cdot BD.$$
Сложим полученные равенства:
$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AE\cdot BD+CE\cdot BD.$$
Так как $$AE+CE=AC$$, получаем
$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=(AE+CE)\cdot BD=AC\cdot BD.$$
Итак,
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD,$$
что и требовалось доказать.
Ответ
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$
