Упр.915 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.
2. Точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$ параллелограмма $$ABCD$$, причём $$AM:MC=4:1$$. Разложите вектор $$AM$$ по векторам $$a=AB$$ и $$b=AD$$.

Пусть основания прямоугольной трапеции равны $$AD$$ и $$BC$$, а высота трапеции равна $$h$$. Так как трапеция описана около окружности, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=AD+BC.$$

В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, значит $$AB=h$$. Тогда

$$CD=AD+BC-h.$$

Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CK\perp AD$$. Тогда $$CK=h$$, а в прямоугольном треугольнике $$CDK$$ имеем

$$CD^2=CK^2+KD^2.$$

Так как $$KD=AD-BC$$, получаем

$$h^2=CD^2-(AD-BC)^2.$$

Подставим $$CD=AD+BC-h$$:

$$h^2=(AD+BC-h)^2-(AD-BC)^2.$$

Раскроем скобки:

$$h^2=(AD+BC)^2-2h(AD+BC)+h^2-(AD-BC)^2.$$

Сократим $$h^2$$ и перенесём слагаемые:

$$2h(AD+BC)=(AD+BC)^2-(AD-BC)^2.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(AD+BC)^2-(AD-BC)^2=4AD\cdot BC.$$

Тогда

$$2h(AD+BC)=4AD\cdot BC,$$

откуда

$$h(AD+BC)=2AD\cdot BC.$$

Площадь трапеции равна

$$S=\frac{(AD+BC)h}{2}=\frac{2AD\cdot BC}{2}=AD\cdot BC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$S_{ABCD}=AD\cdot BC.$$