Упр.914 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что $$CD=BC+AD$$.
- Докажите, что если векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ не коллинеарны, то:
а) векторы $$\vec{a}+\vec{b}$$ и $$\vec{a}-\vec{b}$$ не коллинеарны;
б) векторы $$2\vec{a}-\vec{b}$$ и $$\vec{a}+\vec{b}$$ не коллинеарны;
в) векторы $$\vec{a}+\vec{b}$$ и $$\vec{a}+3\vec{b}$$ не коллинеарны.
Пусть $$E$$ — точка пересечения биссектрис углов $$A$$ и $$B$$. Проведём через $$E$$ прямую $$MK$$, параллельную $$AB$$, где $$M \in AD$$, $$K \in BC$$.
Тогда $$\angle MEA=\angle EAB=\frac12\angle A$$, значит, в треугольнике $$AME$$ углы при основании равны, и потому
$$ME=MA.$$
Аналогично
$$\angle KEB=\angle EBA=\frac12\angle B,$$
следовательно, треугольник $$BKE$$ равнобедренный, и
$$KE=KB.$$
Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписанный, то
$$\angle A+\angle C=180^\circ,$$
а значит
$$\angle AME=180^\circ-\angle A=\angle C.$$
Кроме того, поскольку $$MK \parallel AB$$, то
$$\angle AEM=\angle CKE.$$
Следовательно, треугольники $$DME$$ и $$KCE$$ подобны по двум углам. Но точка $$E$$ равноудалена от сторон $$AD$$ и $$BC$$, так как лежит на биссектрисах углов $$A$$ и $$B$$. Поэтому расстояния от $$E$$ до прямых $$AD$$ и $$BC$$ равны, то есть высоты в треугольниках $$DME$$ и $$KCE$$ равны. Из подобия получаем, что эти треугольники равны, откуда
$$DE=KE,\qquad DM=KC.$$
Тогда
$$CD=CE+DE=ME+KE=MA+KB.$$
Но $$MA=AD-DM$$, $$KB=BC-KC$$, значит
$$CD=(AD-DM)+(BC-KC)=AD+BC-(DM+KC).$$
Так как $$DM=KC$$, то
$$CD=AD+BC.$$
Что и требовалось доказать.
