Упр.913 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
- Векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) $$\vec a+3\vec b$$ и $$\vec a$$; б) $$\vec b-2\vec a$$ и $$\vec a$$? Ответ обоснуйте.
Пусть $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник, а его диагонали $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения через $$E$$.
Проведём диаметр описанной окружности $$AA’$$. Тогда треугольники $$ABA’$$ и $$ADA’$$ прямоугольные, так как опираются на диаметр.
Из перпендикулярности диагоналей получаем:
$$\angle DBA’ = 90^\circ — \angle ABD = \angle ACD,$$
$$\angle CDB = \angle DBA’.$$
Кроме того, $$DB$$ — общая сторона. Значит, треугольники $$DBC$$ и $$BDA’$$ равны по второму признаку равенства треугольников, откуда
$$BA’ = CD.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$ABA’$$ по теореме Пифагора:
$$AA’^2 = AB^2 + BA’^2 = AB^2 + CD^2.$$
Но $$AA’ = 2R$$, где $$R$$ — радиус описанной окружности. Следовательно,
$$AB^2 + CD^2 = (2R)^2.$$
Аналогично получаем
$$AD^2 + BC^2 = (2R)^2.$$
Значит, сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности:
$$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 = (2R)^2.$$
Ответ: $$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 = (2R)^2.$$
