Упр.912 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Произвольная точка $$X$$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $$ABC$$, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков $$AX$$, $$BX$$ и $$CX$$ равен сумме двух других отрезков.
Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, $$M$$ — середина отрезка $$AO$$. Найдите, если это возможно, такое число $$k$$, чтобы выполнялось равенство: а) $$AC=kAO$$; б) $$BO=kBD$$; в) $$OC=kCA$$; г) $$AB=kDC$$; д) $$BC=kDA$$; е) $$AM=kCA$$; ж) $$MC=kAM$$; з) $$AC=kCM$$; и) $$AO=kBD$$.

Подробный ответ

Пусть диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, а $$M$$ — середина отрезка $$AO$$.

Решение

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то
$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$
Рассмотрим равенства по отдельности.
а) $$AC=kAO.$$
Точки $$A,O,C$$ лежат на одной прямой, причём $$O$$ — середина $$AC$$. Поэтому
$$AC=2AO,$$
значит, $$k=2$$.
б) $$BO=kBD.$$
Точка $$O$$ — середина $$BD$$, следовательно
$$BO=\frac12 BD,$$
откуда $$k=\frac12$$.
в) $$OC=kCA.$$
Так как $$OC=\frac12 CA$$ и отрезки направлены противоположно, то
$$k=-\frac12.$$
г) $$AB=kDC.$$
В параллелограмме $$AB=DC$$, направления совпадают, значит
$$k=1.$$
д) $$BC=kDA.$$
В параллелограмме $$BC=DA$$, но направления противоположны, поэтому
$$k=-1.$$
е) $$AM=kCA.$$
Так как $$M$$ — середина $$AO$$, то
$$AM=\frac12 AO=\frac14 AC.$$
Отрезки $$AM$$ и $$CA$$ направлены противоположно, значит
$$k=-\frac14.$$
ж) $$MC=kAM.$$
Точки $$A,M,O,C$$ лежат на одной прямой, причём
$$MC=MO+OC=\frac12 AO+AO=\frac32 AO,$$
а $$AM=\frac12 AO$$. Следовательно,
$$MC=3\,AM,$$
то есть $$k=3$$.
з) $$AC=kCM.$$
Из предыдущего пункта $$CM=3AM$$, а также $$AC=4AM$$, поэтому
$$AC=\frac43\,CM.$$
Направления $$AC$$ и $$CM$$ противоположны, значит
$$k=-\frac43.$$
и) $$AO=kBD.$$
Отрезки $$AO$$ и $$BD$$ неколлинеарны, поэтому такое число $$k$$ не существует.