Упр.911 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Из вершины $$B$$ треугольника $$ABC$$ проведены высота $$BH$$ и биссектриса угла $$B$$, которая пересекает в точке $$E$$ описанную около треугольника окружность с центром $$O$$. Докажите, что луч $$BE$$ является биссектрисой угла $$OBH$$.
- Найдите такое число $$k$$, чтобы выполнялось равенство $$n=km$$, если известно, что:
а) векторы $$m$$ и $$n$$ противоположно направлены и $$|m|=0{,}5\ \text{см}$$, $$|n|=2\ \text{см}$$;
б) векторы $$m$$ и $$n$$ сонаправлены и $$|m|=12\ \text{см}$$, $$|n|=24\ \text{дм}$$;
в) векторы $$m$$ и $$n$$ противоположно направлены и $$|m|=400\ \text{мм}$$, $$|n|=4\ \text{дм}$$;
г) векторы $$m$$ и $$n$$ сонаправлены и $$|m|=\sqrt{2}\ \text{см}$$, $$|n|=\sqrt{50}\ \text{см}$$.
Обозначим $$\angle BCA=\alpha,$$ $$\angle ABE=\angle EBC=\beta.$$ Тогда, так как точка $$E$$ лежит на описанной около треугольника окружности, центральный угол, опирающийся на дугу $$AB,$$ равен удвоенному вписанному углу:
$$\angle AOB=2\alpha.$$
Рассмотрим треугольник $$ABO.$$ Он равнобедренный, так как $$OA=OB$$. Поэтому
$$\angle ABO=\frac{1}{2}\bigl(180^\circ-\angle AOB\bigr)=90^\circ-\alpha.$$
Теперь найдём углы $$\angle OBE$$ и $$\angle HBE.$$
Так как $$BE$$ — биссектриса угла $$B,$$ то
$$\angle ABE=\angle EBC=\beta.$$
Тогда
$$\angle OBE=\angle ABE-\angle ABO=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ,$$
а поскольку $$BH\perp AC,$$ то
$$\angle HBC=90^\circ-\angle BCA=90^\circ-\alpha.$$
Следовательно,
$$\angle HBE=\angle EBC-\angle HBC=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ.$$
Получаем, что
$$\angle OBE=\angle HBE,$$
значит, луч $$BE$$ является биссектрисой угла $$OBH$$.
Ответ
$$BE$$ — биссектриса угла $$OBH$$.
