Упр.910 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что $$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC.$$
Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника ABC, а О — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2:1, считая от точки Н, т. е. $$\frac{HG}{GO}=2.$$
Обозначим через $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ середины сторон $$BC,\;CA,\;AB$$ соответственно. Тогда по правилу треугольника
$$\overrightarrow{A_1O}+\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{A_1G}, \qquad \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AG}.$$
Так как $$G$$ — точка пересечения медиан, то для радиус-векторов верно соотношение
$$\overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{A_1G}.$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG}=-2\overrightarrow{A_1O}-2\overrightarrow{OG}.$$
Векторы $$\overrightarrow{AH}$$ и $$\overrightarrow{A_1O}$$ коллинеарны, значит существует число $$x$$ такое, что
$$\overrightarrow{A_1O}=x\overrightarrow{AH}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{HG}+2\overrightarrow{OG}=-(2x+1)\overrightarrow{AH}.$$
Аналогично, из рассмотрения точки $$B_1$$ получаем
$$\overrightarrow{HG}+2\overrightarrow{OG}=-(2m+1)\overrightarrow{BH},$$
где $$m$$ определяется из равенства $$\overrightarrow{B_1O}=m\overrightarrow{BH}.$$
Но векторы $$\overrightarrow{AH}$$ и $$\overrightarrow{BH}$$ неколлинеарны, значит единственная возможность —
$$\overrightarrow{HG}+2\overrightarrow{OG}=\vec 0.$$
Отсюда
$$\overrightarrow{HG}=-2\overrightarrow{OG}.$$
Следовательно, точки $$H,\;G,\;O$$ лежат на одной прямой, а
$$\frac{HG}{GO}=2.$$
Ответ
$$G\in OH,\qquad \frac{HG}{GO}=2.$$
