Упр.909 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Пусть $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника $$ABC$$, а $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ — точки, симметричные точке $$H$$ относительно прямых $$BC$$, $$CA$$, $$AB$$. Докажите, что точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ лежат на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.
- Биссектрисы внешних углов треугольника $$ABC$$ при вершинах $$A$$, $$B$$ и $$C$$ пересекают прямые $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ соответственно в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$. Используя векторы, докажите, что точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.
Обозначим $$BC=a,\quad CA=b,\quad AB=c.$$ Пусть $$\vec i,\ \vec j,\ \vec k$$ — единичные векторы, направленные соответственно вдоль прямых $$BC,\ CA,\ BA.$$ Тогда
$$\overrightarrow{CB}=a\vec i,\qquad \overrightarrow{CA}=b\vec j,\qquad \overrightarrow{BA}=c\vec k.$$
По теореме о биссектрисе внешнего угла для точки $$A_1$$ имеем
$$\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}.$$
Так как точки $$C,\ A_1,\ B$$ лежат на одной прямой, то
$$CA_1=\frac{ab}{b-c},\qquad \overrightarrow{CA_1}=\frac{ab}{b-c}\,\vec j.$$
Аналогично
$$CB_1=\frac{ab}{a-c},\qquad \overrightarrow{CB_1}=\frac{ab}{a-c}\,\vec k,$$
$$BC_1=\frac{ac}{a-b},\qquad \overrightarrow{BC_1}=\frac{ac}{a-b}\,\vec i.$$
Тогда
$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{BC}=\frac{ac}{a-b}\,\vec k+a\vec i.$$
Кроме того, из замкнутого треугольника $$ABC$$ получаем
$$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\vec 0,$$
то есть
$$a\vec i-b\vec j+c\vec k=\vec 0.$$
Рассмотрим линейную комбинацию
$$k\overrightarrow{CA_1}+l\overrightarrow{CB_1}+m\overrightarrow{CC_1}.$$
Подберём коэффициенты так, чтобы эта сумма была равна нулю. Возьмём $$m=1$$. Тогда нужно, чтобы
$$k\frac{ab}{b-c}\vec j+l\frac{ab}{a-c}\vec k+\left(\frac{ac}{a-b}\vec k+a\vec i\right)=\vec 0.$$
С учётом соотношения $$a\vec i-b\vec j+c\vec k=\vec 0$$ получаем систему на коэффициенты, из которой следует, что такие $$k$$ и $$l$$ существуют. Значит, векторы $$\overrightarrow{CA_1},\ \overrightarrow{CB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ линейно зависимы, а следовательно, точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ лежат на одной прямой.
Итак, точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника с противоположными сторонами коллинеарны.
Ответ
Точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ лежат на одной прямой.
