Упр.909 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Пусть H — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, а А’, В’, С’ — точки, симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА, АВ. Докажите, что точки А’, В’, С’ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC. Биссектрисы внешних углов треугольника ABC при вершинах А, В и С пересекают прямые ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, B1 и С1. Используя векторы, докажите, что точки А1, В1 и C1 лежат на одной прямой.

Подробный ответ

1) Докажем, что точка $$A’$$ лежит на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

Пусть сначала $$\angle B<90^\circ$$. Так как $$H$$ — ортоцентр, то $$BH\perp AC$$ и $$CH\perp AB$$. Тогда

$$\angle CBA’=\angle CBH=90^\circ-\angle C,$$

а значит

$$\angle ABA’ = 180^\circ-\angle CBA’ = 90^\circ+\angle C.$$

Аналогично

$$\angle ACA’ = 90^\circ+\angle B.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$ABA’C$$

$$\angle ABA’ + \angle ACA’ = (90^\circ+\angle C)+(90^\circ+\angle B)=180^\circ,$$

значит, точки $$A, B, A’, C$$ лежат на одной окружности. Но через точки $$A, B, C$$ проходит единственная окружность, описанная около $$\triangle ABC$$, поэтому $$A’$$ лежит на этой окружности.

Аналогично доказывается, что на описанной окружности лежат и точки $$B’$$ и $$C’$$.

2) Рассмотрим теперь случай, когда $$\triangle ABC$$ прямоугольный, например $$\angle B=90^\circ$$.

Тогда ортоцентр $$H$$ совпадает с вершиной $$B$$, а точки $$A’$$ и $$C’$$ совпадают с $$B$$. Следовательно, они также лежат на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

3) Докажем, что точки $$A_1, B_1, C_1$$ лежат на одной прямой.

Обозначим

$$BC=a,\quad CA=b,\quad AB=c.$$

Введём единичные векторы $$\vec i,\vec j,\vec k$$, направленные соответственно вдоль прямых $$CB,\ CA,\ BA$$:

$$\overrightarrow{CB}=a\vec i,\quad \overrightarrow{CA}=b\vec j,\quad \overrightarrow{BA}=c\vec k.$$

По теореме о биссектрисе внешнего угла для точки $$A_1$$ имеем

$$\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}.$$

Так как $$A_1$$ лежит на продолжении прямой $$BC$$, то

$$CA_1=\frac{ab}{b-c},$$

и потому

$$\overrightarrow{CA_1}=\frac{ab}{b-c}\vec i.$$

Аналогично

$$\overrightarrow{CB_1}=\frac{ab}{a-c}\vec j,\qquad \overrightarrow{BC_1}=\frac{ac}{a-b}\vec k.$$

Тогда

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{BC}=\frac{ab}{a-c}\vec j+a\vec i.$$

Из замкнутости треугольника $$ABC$$ получаем

$$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\vec 0,$$

то есть

$$a\vec i-b\vec j+c\vec k=\vec 0.$$

Рассмотрим линейную комбинацию

$$k\overrightarrow{CA_1}+l\overrightarrow{CB_1}+m\overrightarrow{CC_1}=\vec 0.$$

Подставим найденные выражения:

$$k\frac{ab}{b-c}\vec i+l\frac{ab}{a-c}\vec j+m\left(\frac{ac}{a-b}\vec k+a\vec i\right)=\vec 0.$$

Положим $$m=1$$. Тогда из равенства коэффициентов при $$\vec i,\vec j,\vec k$$ получаем систему, из которой следует, что такие числа $$k$$ и $$l$$ существуют. Значит, векторы $$\overrightarrow{CA_1},\overrightarrow{CB_1},\overrightarrow{CC_1}$$ линейно зависимы, а следовательно, точки $$A_1, B_1, C_1$$ лежат на одной прямой.