Упр.908 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через каждую вершину треугольника $$ABC$$ проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.
- Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.
Обозначим через $$A_2,$$ $$B_2,$$ $$C_2$$ точки пересечения прямых, проведённых через вершины $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ перпендикулярно биссектрисам углов $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ соответственно.
Так как прямая, перпендикулярная биссектрисе внутреннего угла, является биссектрисой внешнего угла, то:
- $$A_2B_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$C$$;
- $$A_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$B$$;
- $$B_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$A$$.
Рассмотрим точку $$A_2.$$ Она лежит на биссектрисе внешнего угла при $$C,$$ значит, по свойству биссектрисы она равноудалена от сторон этого угла, то есть от прямых $$AC$$ и $$BC.$$ Следовательно, $$A_2$$ лежит на биссектрисе угла между прямыми $$AC$$ и $$BC,$$ то есть на прямой, содержащей биссектрису угла $$C.$$ Аналогично:
- $$B_2$$ лежит на прямой, содержащей биссектрису угла $$A$$;
- $$C_2$$ лежит на прямой, содержащей биссектрису угла $$B$$.
Значит, вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC.$$
Ответ
Вершины полученного треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы углов $$A,$$ $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC.$$
