Упр.907 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Внутри угла $$\angle ABC$$ равностороннего треугольника $$ABC$$ взята точка $$M$$ так, что $$\angle BMC=30^\circ$$, $$\angle BMA=17^\circ$$. Найдите углы $$\angle BAM$$ и $$\angle BCM$$.
- Докажите следующее утверждение: три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа $$k$$, $$l$$ и $$m$$, одновременно не равные нулю, такие, что $$k+l+m=0$$ и для произвольной точки $$O$$ выполняется равенство $$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=0$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то
$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$
Поскольку $$\angle BMC=30^\circ$$, точка $$M$$ лежит на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, так как вписанный угол, опирающийся на хорду $$BC$$, равен половине центрального угла, соответствующего этой хорде.
Обозначим через $$D$$ вторую точку пересечения прямой $$BA$$ с этой окружностью. Тогда $$DB$$ — диаметр окружности, а значит, $$\triangle MAB$$ равнобедренный, поскольку $$MA=AB$$ как радиусы окружности.
Следовательно,
$$\angle ABM=\angle BMA=17^\circ,$$
откуда
$$\angle BAM=180^\circ-17^\circ-17^\circ=146^\circ.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$AMC$$. Он тоже равнобедренный, так как $$MA=MC$$ как радиусы окружности. Тогда
$$\angle AMC=\angle MAC.$$
Угол $$\angle AMC$$ состоит из углов $$\angle BMA$$ и $$\angle BMC$$, поэтому
$$\angle AMC=17^\circ+30^\circ=47^\circ.$$
Значит,
$$\angle MAC=\angle MCA=\frac{180^\circ-47^\circ}{2}=66^\circ30’$$
Но для нахождения $$\angle BCM$$ достаточно заметить, что
$$\angle BCM=\angle BCA+\angle ACM.$$
Так как $$\angle BCA=60^\circ$$, а $$\angle ACM=\angle MCA=66^\circ30’$$, получаем
$$\angle BCM=60^\circ+66^\circ30’=126^\circ30′.$$
Ответ: $$\angle BAM=146^\circ,\ \angle BCM=126^\circ30′.$$
