Упр.906 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезок $$AB$$ является диаметром окружности с центром $$O$$. На каждом радиусе $$OM$$ окружности отложен от центра $$O$$ отрезок, равный расстоянию от конца $$M$$ этого радиуса до прямой $$AB$$. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.
- Дан треугольник $$ABC$$. Докажите, что вектор $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$$ направлен вдоль биссектрисы угла $$A$$, а вектор $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$.
Обозначим через $$M$$ точку на окружности радиуса $$R$$, а через $$H$$ — основание перпендикуляра из $$M$$ на прямую $$AB$$. Тогда по условию
$$OD=MH.$$
Пусть $$\angle BOM=\alpha$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$OMH$$ имеем
$$MH=OM\sin\alpha=R\sin\alpha.$$
Значит, для точки $$D$$ на радиусе $$OM$$ выполняется
$$OD=R\sin\alpha.$$
Введём координаты: центр окружности $$O(0,0)$$, диаметр $$AB$$ лежит на оси $$Ox$$. Тогда точка $$M$$ имеет координаты
$$M(R\cos\alpha,\;R\sin\alpha).$$
Так как $$D$$ лежит на отрезке $$OM$$ и $$OD=R\sin\alpha$$, то
$$D(R\sin\alpha\cos\alpha,\;R\sin^2\alpha).$$
Обозначим координаты точки $$D$$ через $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$x=R\sin\alpha\cos\alpha,\qquad y=R\sin^2\alpha.$$
Из формулы $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ получаем
$$\left(\frac{x}{R}\right)^2+\left(\frac{y}{R}\right)^2=\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\sin^4\alpha=\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha.$$
Но удобнее выразить связь между $$x$$ и $$y$$ через $$\sin\alpha$$:
$$y=R\sin^2\alpha,\qquad x^2=R^2\sin^2\alpha\cos^2\alpha=R^2\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha).$$
Тогда
$$x^2=Ry-y^2,$$
то есть
$$x^2+y^2=Ry.$$
Приведём к каноническому виду:
$$x^2+\left(y-\frac{R}{2}\right)^2=\left(\frac{R}{2}\right)^2.$$
Следовательно, множество точек $$D$$ — это окружность с центром на середине радиуса, перпендикулярного диаметру $$AB$$, и радиусом $$\frac{R}{2}$$. Аналогичная окружность получается и симметрично относительно прямой $$AB$$.
Ответ: две окружности радиуса $$\frac{R}{2}$$ с центрами в точках $$\left(0,\frac{R}{2}\right)$$ и $$\left(0,-\frac{R}{2}\right)$$.
