Упр.905 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через точку $$A$$ пересечения двух окружностей с центрами в точках $$O_1$$ и $$O_2$$ проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке $$B$$, а другую — в точке $$C$$. Докажите, что отрезок $$BC$$ будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой $$O_1O_2$$.
- Даны четырёхугольник $$ABCD$$ и точка $$O$$. Точки $$E$$, $$F$$, $$G$$ и $$H$$ симметричны точке $$O$$ относительно середин сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно. Что представляет собой четырёхугольник $$EFGH$$?
Решение
1. Обозначим середины сторон четырёхугольника $$ABCD$$ через $$M, N, P, Q$$ соответственно.
Так как точки $$E, F, G, H$$ симметричны точке $$O$$ относительно точек $$M, N, P, Q$$, то $$M$$, $$N$$, $$P$$, $$Q$$ являются серединами отрезков $$OE, OF, OG, OH$$.
2. Рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ$$. По теореме о средних линиях в треугольниках получаем:
в треугольнике $$OEF$$ отрезок $$MN$$ соединяет середины сторон $$OE$$ и $$OF$$, значит
$$MN \parallel EF,\qquad MN=\frac{1}{2}EF.$$
Аналогично:
$$NP \parallel FG,\qquad NP=\frac{1}{2}FG,$$
$$PQ \parallel GH,\qquad PQ=\frac{1}{2}GH,$$
$$QM \parallel HE,\qquad QM=\frac{1}{2}HE.$$
3. Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника $$EFGH$$ попарно параллельны:
$$EF \parallel GH,\qquad FG \parallel EH.$$
Значит, $$EFGH$$ — параллелограмм.
Ответ: $$EFGH$$ — параллелограмм.
