Упр.904 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что для всех хорд АВ данной окружности величина AB2/AD, где AD — расстояние от точки А до касательной в точке В, имеет одно и то же значение. Даны четырёхугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырёхугольник, если ON-OM = OP-OQ?

Рассмотрим векторы:

$$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MN},$$

$$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{QO}=\overrightarrow{QP}.$$

По условию

$$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ},$$

значит,

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}.$$

Следовательно, $$MN \parallel QP$$ и $$MN=QP$$. Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ

$$MNPQ$$ — параллелограмм.