Упр.903 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$M$$, а окружность отсекает на них равные хорды $$AB$$ и $$CD$$.

Рассмотрим два случая.

1. Точка $$M$$ лежит внутри окружности.

   Рассмотрим треугольники $$\triangle ACM$$ и $$\triangle DBM$$.

   Так как $$AB=CD$$, то равны соответствующие дуги, а значит, равны вписанные углы, опирающиеся на эти дуги:

   $$\angle CAB=\angle CDB,$$

   $$\angle ABD=\angle ACD.$$

   Поскольку точки $$M$$ лежит на прямых $$AB$$ и $$CD$$, то

   $$\angle CAM=\angle CAB,\qquad \angle DBM=\angle CDB.$$

   Кроме того,

   $$\angle ACM=\angle ACD,\qquad \angle BDM=\angle ABD.$$

   Следовательно,

   $$\angle CAM=\angle DBM,\qquad \angle ACM=\angle BDM.$$

   Значит, $$\triangle ACM \sim \triangle DBM$$, откуда

   $$\frac{MA}{MD}=\frac{AC}{DB}.$$

   Но $$AC=DB$$, так как это равные хорды, следовательно,

   $$MA=MD.$$

   Аналогично из подобия треугольников $$\triangle AMD$$ и $$\triangle CMB$$ получаем

   $$MC=MB.$$

2. Точка $$M$$ лежит вне окружности.

   Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекают окружность в точках $$A,B$$ и $$C,D$$ соответственно, причём $$M$$ лежит вне окружности.

   Рассмотрим треугольники $$\triangle MAD$$ и $$\triangle MBC$$.

   Из равенства хорд $$AB=CD$$ следует равенство соответствующих дуг, а значит, равны вписанные углы:

   $$\angle BAC=\angle BDC,$$

   $$\angle ABD=\angle ACD.$$

   Так как точки $$M,A,B$$ лежат на одной прямой, а точки $$M,C,D$$ — на другой, то

   $$\angle MAD=\angle BAD,\qquad \angle MDA=\angle CDA,$$

   $$\angle MBC=\angle ABC,\qquad \angle MCB=\angle DCB.$$

   Отсюда следует, что

   $$\angle MAD=\angle MBC,\qquad \angle MDA=\angle MCB,$$

   значит, $$\triangle MAD \sim \triangle MBC$$.

   Тогда

   $$\frac{MA}{MB}=\frac{AD}{BC}.$$

   Но $$AD=BC$$, так как это равные хорды, следовательно,

   $$MA=MB.$$

   Аналогично получаем

   $$MC=MD.$$

Итак, расстояния от точки пересечения прямых до концов одной хорды равны соответствующим расстояниям до концов другой хорды:

$$MA=MD,\qquad MC=MB.$$