Упр.902 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$ (рис. 271). Докажите, что $$AM=AN$$.
- Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?
Пусть $$H_1,\ H_2,\ H_3$$ — основания высот треугольника $$ABC$$.
Построим серединные перпендикуляры к отрезкам $$H_1H_2$$, $$H_2H_3$$ и $$H_3H_1$$. Их точка пересечения обозначим через $$O$$. Тогда $$O$$ — центр окружности, проходящей через точки $$H_1,\ H_2,\ H_3$$.
Построим окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OH_1$$. Затем проведём касательные к этой окружности в точках $$H_1,\ H_2,\ H_3$$.
Точки пересечения касательных попарно дают вершины искомого треугольника $$ABC$$.
Действительно, если окружность касается сторон треугольника в точках $$H_1,\ H_2,\ H_3$$, то эти точки являются основаниями высот треугольника.
Так как из трёх касательных к окружности можно получить три вершины треугольника, а каждая вершина может быть выбрана по одну или по другую сторону от соответствующей хорды, задача имеет 2 решения.
Ответ
$$2$$
