Упр.901 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Прямая $$AC$$ — касательная к окружности с центром $$O_1$$, а прямая $$BD$$ — касательная к окружности с центром $$O_2$$ (рис. 270). Докажите, что:
а) $$AD \parallel BC$$;
б) $$AB^2 = AD \times BC$$;
в) $$\frac{BD^2}{AC^2} = \frac{AD}{BC}$$.
Задание учебника 2023 года. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведённые из одной вершины.

Подробный ответ

Пусть в окружности с центром $$O$$ точки $$A,$$ $$B,$$ $$M$$ лежат на одной дуге, а через них проходят прямые, содержащие соответственно высоту, биссектрису и медиану, проведённые из одной вершины треугольника.

Построим искомый треугольник.

Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную $$BO$$, и отметим на окружности точку $$E$$.
Проведём прямую $$EM$$; пусть она пересечёт $$BO$$ в точке $$M_1$$.
Через точку $$M_1$$ проведём прямую, перпендикулярную $$OB$$; точки её пересечения с окружностью обозначим $$F$$ и $$D$$.

Тогда треугольник $$EFD$$ — искомый.

Действительно, прямая через $$A$$ параллельна $$BO$$, значит она является прямой, содержащей высоту. Прямая $$EM$$ проходит через точку $$M$$ и точку $$M_1$$, лежащую на $$BO$$, поэтому она соответствует биссектрисе. Прямая через $$M_1$$, перпендикулярная $$OB$$, является прямой, содержащей медиану.

Следовательно, построен треугольник, у которого данные точки $$A,$$ $$B,$$ $$M$$ лежат на прямых, содержащих высоту, биссектрису и медиану, проведённые из одной вершины.