Упр.900 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Две окружности имеют единственную общую точку $$M$$. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках $$A$$ и $$A_1$$, а другую — в точках $$B$$ и $$B_1$$. Докажите, что $$AA_1 \parallel BB_1$$.
Постройте треугольник:
а) по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой к данной стороне;
б) по углу, высоте, проведённой из вершины данного угла, и периметру.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — данная сторона, $$\angle ACB$$ — данный угол, а $$h$$ — данная высота.

а) Построение треугольника по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой к данной стороне

Построим треугольник $$ABC$$, если известны $$AB$$, $$\angle C$$ и высота $$h$$, опущенная на сторону $$AB$$.

Построим отрезок $$AB$$, равный данной стороне.
Построим геометрическое место точек, удалённых от прямой $$AB$$ на расстояние $$h$$: это две прямые, параллельные $$AB$$ и находящиеся от неё на расстоянии $$h$$.
Построим лучи, образующие с прямой $$AB$$ угол, равный данному $$\angle C$$.
Точка $$C$$ — это пересечение одного из таких лучей с одной из параллельных прямых, проведённых на расстоянии $$h$$ от $$AB$$.
Соединим $$C$$ с $$A$$ и $$B$$. Получим искомый треугольник.

Так как точка $$C$$ лежит на прямой, параллельной $$AB$$, и удалена от неё на расстояние $$h$$, то высота треугольника к стороне $$AB$$ равна $$h$$. Угол при вершине $$C$$ равен данному по построению.

б) Построение треугольника по углу, высоте, проведённой из вершины данного угла, и периметру

Пусть дан угол $$\angle C$$, высота $$h$$, проведённая из вершины $$C$$, и периметр $$P$$.

Построим данный угол $$\angle C$$.
Внутри угла проведём прямую, параллельную одной из его сторон, на расстоянии $$h$$ от вершины $$C$$. Точки пересечения этой прямой со сторонами угла обозначим $$A$$ и $$B$$.
Тогда $$AB$$ — искомая сторона треугольника, а высота из вершины $$C$$ к прямой $$AB$$ равна $$h$$.
Остаётся выбрать на сторонах угла точки $$A$$ и $$B$$ так, чтобы выполнялось условие периметра:
$$CA+CB+AB=P.$$

Поскольку при фиксированном угле и высоте положение прямой $$AB$$ однозначно определяется расстоянием $$h$$ от вершины $$C$$, то точки $$A$$ и $$B$$ находятся как пересечения этой прямой со сторонами угла. После этого треугольник $$ABC$$ построен.