Упр.899 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 899. Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вневписанных окружностей с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля). Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку.

Обозначим стороны треугольника $$ABC$$ так: $$BC=a,$$ $$CA=b,$$ $$AB=c.$$ Пусть точки касания вневписанных окружностей со сторонами $$BC, CA, AB$$ соответственно — это $$E, F, G$$, а точки касания с продолжениями сторон — $$M, N$$.

Тогда из свойств касательных, проведённых из одной точки, получаем:

$$AE=AG,\quad BF=BE,\quad CF=CN,\quad BM=BN.$$

Обозначим полупериметр треугольника $$ABC$$ через $$p$$. Тогда для вневписанных окружностей имеем:

$$ AG=p-c,\quad CG=p-a,\quad AE=p-b, $$

$$ BE=p-a,\quad BF=p-c,\quad CF=p-b. $$

Теперь вычислим произведения:

$$ \frac{AE}{BE}\cdot \frac{BF}{CF}\cdot \frac{CG}{AG} = \frac{(p-b)(p-c)(p-a)}{(p-a)(p-b)(p-c)}=1. $$

Следовательно, по теореме Чевы прямые $$AF,$$ $$BG,$$ $$CE$$ пересекаются в одной точке. Это и есть точка Нагеля.

Для второй задачи рассмотрим окружность с центром $$O$$ и точку $$M$$ внутри неё. Пусть $$OM$$ — расстояние от точки до центра окружности. Среди всех хорд, проходящих через $$M$$, наименьшей будет та, которая перпендикулярна радиусу $$OM$$.

Действительно, если через $$M$$ провести хорду под углом к $$OM$$, то её половина равна $$\sqrt{R^2-d^2}$$, где $$R$$ — радиус окружности, а $$d$$ — расстояние от центра до хорды. Чем больше $$d$$, тем меньше хорда. Максимальное значение $$d$$ при фиксированной точке $$M$$ достигается, когда хорда перпендикулярна $$OM$$.

Построение:

1. Провести диаметр $$OM$$.
2. Через точку $$M$$ провести прямую, перпендикулярную $$OM$$.
3. Точки пересечения этой прямой с окружностью обозначить $$A$$ и $$B$$.

Тогда хорда $$AB$$ — искомая наименьшая хорда, проходящая через точку $$M$$.

Ответ

Прямые $$AF,$$ $$BG,$$ $$CE$$ пересекаются в одной точке — точке Нагеля. Наименьшая хорда, проходящая через внутреннюю точку $$M$$, — это хорда, перпендикулярная радиусу $$OM$$.