Упр.899 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вневписанных окружностей с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).
Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности, а $$M$$ — данная внутренняя точка.

Проведём через точки $$O$$ и $$M$$ прямую. Обозначим точки пересечения этой прямой с окружностью через $$A$$ и $$B$$.

Докажем, что хорда $$AB$$ — наименьшая из всех хорд, проходящих через точку $$M$$.

Пусть произвольная хорда $$CD$$ проходит через точку $$M$$. Тогда расстояние от центра окружности до хорды $$CD$$ равно перпендикуляру, опущенному из $$O$$ на прямую $$CD$$. Обозначим его через $$h$$.

Для хорды $$AB$$ прямая $$AB$$ проходит через центр $$O$$, значит расстояние от центра до этой хорды равно $$0$$. Следовательно, хорда $$AB$$ — диаметр окружности.

Из свойства хорд окружности: чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше её длина. Поэтому среди всех хорд, проходящих через точку $$M$$, наименьшей будет та, которая находится на наибольшем расстоянии от центра. Но через внутреннюю точку $$M$$ наибольшее возможное расстояние от центра достигается именно для диаметра, проходящего через $$M$$ и $$O$$.

Значит, искомая хорда — это диаметр, проходящий через точки $$O$$ и $$M$$.