Упр.898 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вписанной окружности с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Жергонна).
2. Даны окружность с центром $$O$$, точка $$M$$ и отрезки $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$. Постройте прямую $$p$$ так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную $$P_1Q_1$$, и расстояние от точки $$M$$ до прямой $$p$$ равнялось $$P_2Q_2$$.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника через $$E,\ F,\ G$$.

Тогда отрезки, проведённые из вершин треугольника к точкам касания, равны:

$$AE=AG,\qquad BF=BG,\qquad CE=CF.$$

Рассмотрим произведение отношений:

$$\frac{AE}{CE}\cdot \frac{CF}{BF}\cdot \frac{BG}{AG} = \frac{AE\cdot CF\cdot BG}{CE\cdot BF\cdot AG}.$$

Так как $$AE=AG,\ BF=BG,\ CE=CF,$$ то

$$\frac{AE\cdot CF\cdot BG}{CE\cdot BF\cdot AG}=1.$$

Следовательно, по теореме Чевы прямые $$AF,\ CG,\ BE$$ пересекаются в одной точке.

Это и требовалось доказать.