Упр.898 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 898. Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вписанной окружности с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Жергонна). Даны окружность с центром О, точка М и отрезки P1Q1 и P2Q2- Постройте прямую р так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную P1Q1, и расстояние от точки М до прямой р равнялось P2Q2

Подробный ответ

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника $$AB,\,BC,\,CA$$ через $$G,\,F,\,E$$ соответственно.

Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

$$AG=AE,\qquad BG=BF,\qquad CE=CF.$$

Применим теорему Чевы к прямым $$AF,\;CG,\;BE$$ в треугольнике $$ABC$$:

$$ \frac{AE}{CE}\cdot \frac{CF}{BF}\cdot \frac{BG}{AG} = \frac{AE}{CE}\cdot \frac{CE}{BF}\cdot \frac{BF}{AE} =1. $$

Следовательно, по теореме Чевы прямые $$AF,\;CG,\;BE$$ пересекаются в одной точке.

Эта точка называется точкой Жергонна.