Упр.897 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
2. Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

Пусть $$O$$ — точка пересечения биссектрис треугольника $$ABC$$, а $$A_1\in BC,$$ $$B_1\in AC,$$ $$C_1\in AB$$ — точки пересечения биссектрис с противоположными сторонами.

По теореме о биссектрисе в треугольнике $$ABC$$ имеем:

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{AC}{BC}, \qquad \frac{AB_1}{CB_1}=\frac{AB}{BC}.$$

Теперь применим теорему Ван-Обеля к треугольнику $$ABC$$ и его биссектрисам. Тогда

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AC_1}{BC_1}+\frac{AB_1}{CB_1}.$$

Подставим найденные отношения:

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AC}{BC}+\frac{AB}{BC}=\frac{AB+AC}{BC}.$$

Следовательно, точка пересечения биссектрис делит каждую биссектрису в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.