Упр.896 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$, причём отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что $$\frac{CO}{OC_1}=\frac{CA_1}{A_1B}+\frac{CB_1}{B_1A}$$ (теорема Ван-Обеля).
Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).

Подробный ответ

Пусть $$D$$ — произвольная точка окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Обозначим основания перпендикуляров: $$E \in AB$$, $$F \in AC$$, $$G \in BC$$, причём $$DE \perp AB$$, $$DF \perp AC$$, $$DG \perp BC$$. Докажем, что точки $$E, F, G$$ лежат на одной прямой.

Доказательство

Рассмотрим четырёхугольник $$AEFD$$. Так как $$DE \perp AB$$ и $$EF \perp AB$$, то $$\angle AED = 90^\circ$$. Аналогично, поскольку $$DF \perp AC$$, имеем $$\angle AFD = 90^\circ$$.

Следовательно, $$\angle AED + \angle AFD = 180^\circ$$, значит, вокруг четырёхугольника $$AEFD$$ можно описать окружность. Тогда равны вписанные углы, опирающиеся на одну хорду $$AD$$:

$$\angle AFE = \angle ADE.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$DFCG$$. Здесь $$\angle DGC = 90^\circ$$ и $$\angle DFC = 90^\circ$$, поэтому

$$\angle DFC + \angle DGC = 180^\circ.$$

Значит, вокруг четырёхугольника $$DFCG$$ можно описать окружность, и потому

$$\angle CFG = \angle CDG.$$

Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной окружности, то четырёхугольник $$ABCD$$ вписанный. Следовательно,

$$\angle BAD = \angle DCB.$$

Кроме того, смежные углы дают

$$\angle DCG = 180^\circ — \angle DCB.$$

Тогда

$$\angle EAD = 180^\circ — \angle BAD = 180^\circ — \angle DCB = \angle DCG.$$

Теперь из прямоугольного треугольника $$AED$$ получаем