Упр.894 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Пусть точки $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ или их продолжениях. Докажите, что если $$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$$, то прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.
- Докажите, что в любом треугольнике радиус $$R$$ описанной окружности, радиус $$r$$ вписанной окружности и расстояние $$d$$ между центрами этих окружностей связаны равенством $$d^2=R^2-2Rr$$.
Решение
Обозначим через $$M$$ центр описанной окружности, а через $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$. Пусть $$d=OM$$.
Проведём через точку $$M$$ диаметр $$PQ$$ описанной окружности и биссектрисы $$AA_1$$ и $$BB_1$$. Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ точки их пересечения со сторонами $$BC$$ и $$AC$$ соответственно.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд для точки $$M$$ имеем:
$$PM\cdot MQ=AM\cdot MA_1.$$
Так как $$PM=R+d$$, а $$MQ=R-d$$, то
$$(R+d)(R-d)=AM\cdot MA_1.$$
С другой стороны, поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle MBA_1=\frac{\angle B}{2}, \qquad \angle MAB_1=\frac{\angle A}{2}.$$
Из этого следует, что треугольник $$MA_1B$$ равнобедренный, значит
$$AM=BA_1.$$
Теперь проведём диаметр $$A_1A_2$$ описанной окружности. Тогда $$\triangle A_1A_2B$$ прямоугольный, так как опирается на диаметр, и $$\triangle AMK$$ тоже прямоугольный, где $$K$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$.
У этих треугольников по одному острому углу равны, поэтому они подобны. Отсюда
$$\frac{MK}{BA_1}=\frac{AM}{A_1A_2}.$$
Но $$MK=r$$, $$A_1A_2=2R$$, значит
$$r=\frac{AM}{2R}\cdot BA_1.$$
Так как $$AM=BA_1$$, получаем
$$AM\cdot BA_1=2Rr.$$
Следовательно,
$$(R+d)(R-d)=2Rr,$$
то есть
$$R^2-d^2=2Rr.$$
Отсюда
$$d^2=R^2-2Rr.$$
Ответ
$$d^2=R^2-2Rr$$
