Упр.893 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 893. Пусть точки C_1, A_1 и B_1 лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС или их продолжениях. Докажите, что если прямые AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке, то верно равенство: AC_1/C_1B·BA_1/A_1C·CB_1/B_1A=1 (теорема Чевы). Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
Докажем сначала теорему Чевы.
Пусть прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке $$O$$.
Применим теорему Менелая к треугольнику $$ABB_1$$ и секущей $$C_1OC$$:
$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BO}{OB_1}\cdot \frac{B_1C}{CA}=1.$$
Применим теорему Менелая к треугольнику $$CBB_1$$ и секущей $$A_1OA$$:
$$\frac{AC}{AB_1}\cdot \frac{OB_1}{BO}\cdot \frac{A_1B}{CA_1}=1.$$
Перемножим полученные равенства:
$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BO}{OB_1}\cdot \frac{B_1C}{CA}\cdot \frac{AC}{AB_1}\cdot \frac{OB_1}{BO}\cdot \frac{A_1B}{CA_1}=1.$$
Сокращая одинаковые множители, получаем:
$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1.$$
Тем самым теорема Чевы доказана.
Теперь докажем теорему Птолемея.
Пусть $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник. На диагонали $$AC$$ отметим точку $$E$$ так, что $$\angle ABE=\angle DBC$$.
Тогда $$\angle ABE=\angle DBC$$ и $$\angle BAE=\angle BCD$$, значит, $$\triangle ABE \sim \triangle DBC$$. Отсюда
$$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{CD},$$
то есть
$$AB\cdot CD=AE\cdot BD.$$
Кроме того, $$\angle BCE=\angle BDA$$ и $$\angle EBC=\angle ABD$$, значит, $$\triangle BCE \sim \triangle BDA$$. Тогда
$$\frac{BC}{BD}=\frac{CE}{AD},$$
то есть
$$BC\cdot AD=CE\cdot BD.$$
Сложим полученные равенства:
$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AE\cdot BD+CE\cdot BD.$$
Вынесем $$BD$$ за скобки:
$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=(AE+CE)\cdot BD.$$
Так как $$E\in AC$$, то $$AE+CE=AC$$. Следовательно,
$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD.$$
Что и требовалось доказать.
