Упр.892 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Пусть точки $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ или их продолжениях. Докажите: если $$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$$, то точки $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат на одной прямой.
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.
Пусть окружность касается сторон трапеции $$ABCD$$ в точках $$E, F, G, H$$ соответственно. Тогда из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:
$$AE=AH,\quad BE=BF,\quad CF=CG,\quad DG=DH.$$
Обозначим высоту трапеции через $$h$$. Так как трапеция прямоугольная, то $$AB\perp AD$$ и $$BC\parallel AD$$, значит расстояние между основаниями равно $$h$$.
Рассмотрим четырёхугольник $$ABFH$$. У него
$$\angle A=\angle B=90^\circ,$$
следовательно, $$ABFH$$ — прямоугольник. Тогда
$$FH=AB.$$
Но $$FH$$ — диаметр окружности, значит
$$FH=2r,$$
где $$r$$ — радиус окружности. Аналогично
$$AH=OE=r.$$
Следовательно, высота трапеции равна
$$h=2r.$$
Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CK\perp AD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CDK$$ имеем
$$CK=h,\quad DK=AD-BC,$$
поэтому
$$CD^2=h^2+(AD-BC)^2.$$
С другой стороны, для описанного четырёхугольника сумма противоположных сторон равна:
$$AD+BC=AB+CD.$$
Отсюда
$$CD=AD+BC-AB.$$
Так как $$AB=h,$$ получаем
$$CD=AD+BC-h.$$
Подставим это в формулу для $$CD^2$$:
$$h^2+(AD-BC)^2=(AD+BC-h)^2.$$
Раскроем скобки:
$$h^2+AD^2-2AD\cdot BC+BC^2 = AD^2+2AD\cdot BC+BC^2-2h(AD+BC)+h^2.$$
Сокращая одинаковые слагаемые, получаем
$$2h(AD+BC)=4AD\cdot BC,$$
то есть
$$h(AD+BC)=2AD\cdot BC.$$
Теперь найдём площадь трапеции:
$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h =\frac{1}{2}\cdot 2AD\cdot BC =AD\cdot BC.$$
Что и требовалось доказать.
