Упр.892 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 892. Пусть точки C_1, A_1 и B_1 лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС или их продолжениях. Докажите: если AC_1/C_1B·BA_1/A_1C·CB_1/B_1A=1, то точки C_1, A_1 и B_1 лежат на одной прямой (теорема, обратная теореме Менелая). Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Пусть окружность касается сторон трапеции $$ABCD$$ в точках $$E, F, G, H$$ соответственно, где $$AB \parallel CD$$, $$AD \perp AB$$. Обозначим высоту трапеции через $$h$$.

Так как окружность касается обеих оснований, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны основаниям. Следовательно, расстояние между основаниями равно диаметру окружности, то есть

$$h=2r.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$ABFH$$. У него

$$AB \parallel FH,\qquad BF \perp AB,\qquad AH \perp AB,$$

значит, $$ABFH$$ — прямоугольник. Поэтому

$$FH=AB,\qquad BF=AH=r.$$

Аналогично, из равенства касательных, проведённых из одной точки, получаем

$$AE=AH,\qquad CF=CG.$$

Опустим из точки $$C$$ высоту $$CK \perp AD$$. Тогда

$$CK=h.$$

В прямоугольном треугольнике $$CDK$$ имеем

$$CD^2=CK^2+KD^2.$$

Так как $$KD=AD-BC$$, то

$$h^2=CD^2-(AD-BC)^2.$$

С другой стороны, для описанного четырёхугольника сумма противоположных сторон равна:

$$AD+BC=AB+CD.$$

Отсюда

$$CD=AD+BC-AB.$$

Подставим это в формулу для $$h^2$$:

$$ h^2=(AD+BC-AB)^2-(AD-BC)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ h^2=(AD+BC)^2-2AB(AD+BC)+AB^2-(AD^2-2AD\cdot BC+BC^2). $$

После упрощения получаем

$$ 2h(AD+BC)=4AD\cdot BC. $$

Следовательно,

$$ h(AD+BC)=2AD\cdot BC. $$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$ S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h =\frac{AD+BC}{2}\cdot \frac{2AD\cdot BC}{AD+BC} =AD\cdot BC. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$S_{ABCD}=AD\cdot BC.$$