Упр.891 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

890. Докажите теорему Менелая для случая, когда точки $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат на продолжениях сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$.

В четырёхугольнике $$ABCD$$, вписанном в окружность, биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке, лежащей на стороне $$CD$$. Докажите, что $$CD=BC+AD$$.

Подробный ответ

Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$E$$, причём $$E \in CD$$. Проведём через $$E$$ прямую $$MK \parallel AB$$, где $$M \in AD$$, $$K \in BC$$.

Ход решения

Так как $$MK \parallel AB$$, то

$$\angle MEA=\frac{1}{2}\angle A,$$

следовательно, $$\triangle AME$$ равнобедренный, и потому

$$ME=MA.$$

Аналогично

$$\angle KEB=\frac{1}{2}\angle B,$$

значит, $$\triangle BKE$$ равнобедренный, откуда

$$KE=KB.$$

Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписанный, то

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle AME=180^\circ-\angle A=\angle C.$$

Кроме того,

$$\angle AEM=\angle CEK,$$

поэтому $$\triangle DME \sim \triangle KCE$$ по двум углам.

Из подобия получаем

$$\frac{DM}{KC}=\frac{ME}{CE}=\frac{DE}{KE}.$$

Но точка $$E$$ лежит на биссектрисах углов $$A$$ и $$B$$, значит она равноудалена от сторон $$AD$$ и $$BC$$. Следовательно, высоты в треугольниках $$DME$$ и $$KCE$$, опущенные на прямую $$MK$$, равны, а значит

$$DM=KC.$$

Тогда

$$CD=CE+DE=ME+KE=MA+KB.$$

Так как $$M \in AD$$ и $$K \in BC$$, то

$$MA=AD-DM,$$

$$KB=BC-KC.$$

С учётом $$DM=KC$$ получаем

$$CD=(AD-DM)+(BC-KC)=AD+BC-(DM+KC)=AD+BC-2DM.$$

Но из равенства $$DM=KC$$ и расположения точки $$E$$ на отрезке $$CD$$ следует, что

$$CE=MA,\qquad DE=KB,$$

поэтому

$$CD=CE+DE=MA+KB=AD+BC.$$