Упр.890 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямая $$m$$, не проходящая через вершины треугольника $$ABC$$, пересекает его стороны $$AB$$ и $$BC$$, а также продолжение стороны $$AC$$ соответственно в точках $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$. Докажите, что верно равенство: $$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$$.
- Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Пусть диагонали вписанного четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$E$$. Проведём диаметр $$AA’$$ описанной окружности.
Так как диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то $$AC \perp BD$$. Тогда треугольники $$DBA’$$ и $$DAA’$$ прямоугольные, поскольку опираются на диаметр $$AA’$$.
Рассмотрим треугольники $$DBC$$ и $$BDA’$$. Имеем:
$$\angle DCB=\angle DBA’$$, так как $$\angle DCB=90^\circ-\angle CDB$$ и $$\angle DBA’=90^\circ-\angle ABD$$, а $$\angle CDB=\angle ABD$$ как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$DB$$.
Кроме того,
$$\angle DBC=\angle BDA’$$,
а сторона $$DB$$ у этих треугольников общая. Значит,
$$\triangle DBC \sim \triangle BDA’.$$
Отсюда
$$BA’=CD.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$ABA’$$ по теореме Пифагора получаем:
$$AA’^2=AB^2+BA’^2=AB^2+CD^2.$$
Но $$AA’$$ — диаметр описанной окружности, значит $$AA’=2R$$, где $$R$$ — радиус окружности. Следовательно,
$$AB^2+CD^2=(2R)^2.$$
Аналогично доказывается, что
$$AD^2+BC^2=(2R)^2.$$
Значит,
$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2=(2R)^2.$$
Ответ
$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2=(2R)^2.$$
