Упр.889 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.
- Произвольная точка $$X$$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $$ABC$$, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков $$AX$$, $$BX$$ и $$CX$$ равен сумме двух других отрезков.
Пусть $$MNPQ$$ — данный квадрат, а $$AC$$ и $$BD$$ — диагонали искомого ромба. Тогда площадь ромба выражается формулой
$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD.$$
По условию $$S_{ABCD}=S_{MNPQ}$$, значит
$$\frac12 AC\cdot BD=\frac12 MQ\cdot PN,$$
откуда
$$AC\cdot BD=MQ\cdot PN.$$
Так как $$AC:BD=m:n$$, то можно положить
$$AC=mk,\qquad BD=nk.$$
Тогда
$$mk\cdot nk=MQ\cdot PN,$$
то есть
$$k^2=\frac{MQ\cdot PN}{mn}.$$
Следовательно, длины диагоналей ромба можно построить как произведения данных отрезков с помощью стандартного построения произведения отрезков, а затем построить ромб по его диагоналям: диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам.
Построим отрезки $$AC$$ и $$BD$$ так, чтобы выполнялись условия
$$AC:BD=m:n,\qquad AC\cdot BD=MQ\cdot PN.$$
После этого:
- построим отрезок $$AC$$;
- в его середине отметим точку пересечения диагоналей $$O$$;
- через $$O$$ проведём перпендикуляр к $$AC$$;
- на этом перпендикуляре отложим $$OB=OD=\dfrac{BD}{2}$$;
- соединим точки $$A,B,C,D$$.
Получим ромб $$ABCD$$, у которого площадь равна площади квадрата $$MNPQ$$.
