Упр.887 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по трём высотам.
2. Отрезок $$BD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$BD^2 = АВ \times ВС — AD \times DC$$.

Пусть около треугольника $$ABC$$ описана окружность, а луч $$BD$$ пересекает её в точке $$K$$.

Рассмотрим треугольники $$BAK$$ и $$BDC$$.

Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то

$$\angle ABK=\angle DBC.$$

Кроме того, точки $$A, B, C, K$$ лежат на одной окружности, значит

$$\angle AKB=\angle ACB.$$

Но вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$AB$$, равны, поэтому

$$\angle ACB=\angle ADB?$$

Используем правильное соотношение: в четырёхугольнике $$ABCK$$ вписанные углы, опирающиеся на дугу $$AB$$, равны, следовательно

$$\angle AKB=\angle ACB=\angle DBC?$$

Удобнее заметить, что

$$\angle AKB=\angle ACB,\qquad \angle DBC=\angle ABK,$$

а также

$$\angle BAK=\angle BDC$$

как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $$BK$$. Значит, треугольники $$BAK$$ и $$BDC$$ подобны.

Из подобия получаем

$$\frac{AB}{BD}=\frac{BK}{BC}.$$

Отсюда

$$BD\cdot BK=AB\cdot BC.$$

Так как точки $$B, D, K$$ лежат на одной прямой и $$D$$ находится между $$B$$ и $$K$$, то

$$BK=BD+DK.$$

Тогда

$$BD\cdot(BD+DK)=AB\cdot BC,$$

$$BD^2+BD\cdot DK=AB\cdot BC.$$

По теореме о пересекающихся хордах для точки $$D$$ имеем

$$BD\cdot DK=AD\cdot DC.$$

Подставляя это равенство, получаем

$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC.$$

Что и требовалось доказать.