Упр.886 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник $$ABC$$, если даны угол $$A$$, угол $$C$$ и отрезок, равный сумме стороны $$AC$$ и высоты $$BH$$.
2. Пусть $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника $$ABC$$, а $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ — точки, симметричные точке $$H$$ относительно прямых $$BC$$, $$CA$$, $$AB$$. Докажите, что точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ лежат на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Пусть $$H$$ — точка пересечения высот треугольника $$ABC$$, а точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ симметричны точке $$H$$ относительно прямых $$BC$$, $$CA$$, $$AB$$ соответственно. Докажем, что все три точки лежат на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

Доказательство

Докажем сначала, что точка $$A’$$ лежит на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\angle B<90^\circ$$.

   Так как $$A’$$ — отражение точки $$H$$ относительно прямой $$BC$$, то прямая $$BC$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$HA’$$. Значит, $$BH=BA’$$ и $$CH=CA’$$.

   Кроме того, $$BH\perp AC$$ и $$CH\perp AB$$, поэтому

   $$\angle CBA’=\angle CBH=90^\circ-\angle C,$$

   откуда

   $$\angle ABA’ = 180^\circ-\angle CBA’ — \angle ABC = 90^\circ-\angle C+\angle B.$$

   Аналогично

   $$\angle ACA’ = 90^\circ-\angle B+\angle C.$$

   Следовательно, в четырёхугольнике $$ABA’C$$

   $$\angle B+\angle C=180^\circ,$$

   значит, его вершины лежат на одной окружности. Но через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ проходит единственная окружность, описанная около $$\triangle ABC$$. Поэтому $$A’$$ лежит на этой окружности.

2. Если $$\angle B=90^\circ$$.

   Тогда $$H=B$$, а значит, отражение точки $$H$$ относительно прямых $$BC$$ и $$CA$$ даёт соответственно $$A’=B$$ и $$C’=B$$. Следовательно, точки $$A’$$ и $$C’$$ принадлежат окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

3. Если $$\angle B>90^\circ$$.

   Тогда

   $$\angle AA’B=180^\circ-\angle H’A’B=180^\circ-\angle BHA’,$$

   а так как $$\angle BHA’=\angle BHA=90^\circ-\angle C,$$ то

   $$\angle AA’B=180^\circ-(90^\circ-\angle C)=90^\circ+\angle C.$$

   Аналогично получаем, что в четырёхугольнике $$AA’BC$$

   $$\angle A’+\angle C=180^\circ,$$

   значит, точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$A’$$ лежат на одной окружности.

Аналогично доказывается, что точки $$B’$$ и $$C’$$ также лежат на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

Ответ

Точки $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ лежат на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.