Упр.886 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте треугольник ABC, если даны уголA, уголC и отрезок, равный сумме стороны АС и высоты ВН. Пусть H — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, а А’, В’, С’ — точки, симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА, АВ. Докажите, что точки А’, В’, С’ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ точку пересечения высот треугольника $$ABC$$. Нужно доказать, что точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$, симметричные точке $$H$$ относительно прямых $$BC$$, $$CA$$, $$AB$$, лежат на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Докажем это для точки $$A’$$. Пусть $$A’$$ — отражение точки $$H$$ относительно прямой $$BC$$. Тогда прямая $$BC$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$HA’$$, значит $$BH=BA’$$ и $$CH=CA’$$.

Рассмотрим углы. Так как $$BH \perp AC$$, то

$$\angle CBH=90^\circ-\angle C.$$

Поскольку $$A’$$ симметрична $$H$$ относительно $$BC$$, имеем

$$\angle CBA’=\angle CBH=90^\circ-\angle C.$$

Тогда

$$\angle ABA’=\angle ABC+\angle CBA’=\angle B+90^\circ-\angle C.$$

Аналогично, так как $$CH \perp AB$$, получаем

$$\angle ACA’=\angle ACH+\angle HCA’ = 90^\circ-\angle B+\angle C.$$

Теперь найдём сумму противоположных углов четырёхугольника $$ABA’C$$:

$$\angle ABA’ + \angle ACA’ = \bigl(\angle B+90^\circ-\angle C\bigr)+\bigl(90^\circ-\angle B+\angle C\bigr)=180^\circ.$$

Следовательно, точки $$A, B, A’, C$$ лежат на одной окружности. Но через точки $$A, B, C$$ проходит единственная окружность, значит точка $$A’$$ лежит на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Аналогично доказывается, что на этой же окружности лежат точки $$B’$$ и $$C’$$.

Если треугольник $$ABC$$ прямоугольный, например $$\angle B=90^\circ$$, то $$H=B$$, поэтому отражения точки $$H$$ относительно сторон $$AB$$ и $$BC$$ совпадают с точками $$C$$ и $$A$$ соответственно, а отражение относительно $$CA$$ даёт точку $$B$$. В этом случае утверждение также верно.