Упр.885 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
Через каждую вершину треугольника $$ABC$$ проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.

Подробный ответ

Пусть $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ — биссектрисы внутренних углов треугольника $$ABC$$. Через вершины $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ проведены прямые, перпендикулярные соответственно к $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$. Обозначим точки их попарных пересечений через $$A_2,$$ $$B_2,$$ $$C_2$$.

Докажем, что эти точки лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.

Так как прямая, перпендикулярная биссектрисе внутреннего угла, является биссектрисой внешнего угла, то:

$$A_2B_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$C$$;
$$A_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$B$$;
$$B_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$A$$.

Рассмотрим точку $$A_2$$. Она лежит на биссектрисе внешнего угла при $$C$$ и на биссектрисе внешнего угла при $$B$$. Значит, $$A_2$$ равноудалена от сторон $$BC$$ и $$AC$$, а также от сторон $$AB$$ и $$BC$$. Следовательно, $$A_2$$ равноудалена от прямых $$AB$$ и $$AC$$, то есть лежит на биссектрисе угла $$A$$.

Аналогично получаем, что $$B_2$$ лежит на биссектрисе угла $$B$$, а $$C_2$$ — на биссектрисе угла $$C$$.

Итак, вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.