Упр.885 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними. Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.

Обозначим через $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ биссектрисы внутренних углов треугольника $$ABC.$$ По условию через вершины $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ проведены прямые, перпендикулярные этим биссектрисам.

Из свойства биссектрисы и перпендикулярной к ней прямой следует: если прямая перпендикулярна биссектрисе внутреннего угла, то она является биссектрисой внешнего угла при той же вершине. Значит,

$$A_2B_2 \perp CC_1 \;\Rightarrow\; A_2B_2$$ — биссектриса внешнего угла $$C,$$

$$A_2C_2 \perp BB_1 \;\Rightarrow\; A_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла $$B,$$

$$B_2C_2 \perp AA_1 \;\Rightarrow\; B_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла $$A.$$

Теперь используем свойство биссектрисы внешнего угла: каждая точка биссектрисы внешнего угла равноудалена от сторон этого угла. Поэтому:

точка $$A_2$$ равноудалена от прямых $$AB$$ и $$BC,$$ значит, она лежит на биссектрисе угла $$B,$$ то есть $$A_2 \in BB_1;$$

точка $$B_2$$ равноудалена от прямых $$BA$$ и $$AC,$$ значит, $$B_2 \in CC_1;$$

точка $$C_2$$ равноудалена от прямых $$CA$$ и $$AB,$$ значит, $$C_2 \in AA_1.$$

Следовательно, вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC.$$

Ответ

$$A_2 \in BB_1,\quad B_2 \in CC_1,\quad C_2 \in AA_1.$$