Упр.884 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к основанию.
Внутри угла $$ABC$$ равностороннего треугольника $$ABC$$ взята точка $$M$$ так, что $$\angle BMC=30^\circ$$, $$\angle BMA=17^\circ$$. Найдите углы $$BAM$$ и $$BCM$$.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

Пусть окружность с центром в $$A$$ и радиусом $$AB$$ проходит через точки $$B$$ и $$C$$. Тогда из условия $$\angle BMC=30^\circ$$ следует, что точка $$M$$ лежит на этой окружности, так как вписанный угол, опирающийся на хорду $$BC$$, равен половине центрального угла $$\angle BAC=60^\circ$$.

Поскольку $$AM=AB$$, треугольник $$ABM$$ равнобедренный, значит

$$\angle ABM=\angle BMA=17^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAM=180^\circ-17^\circ-17^\circ=146^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMC$$. Так как $$AM=AC$$, он равнобедренный, поэтому

$$\angle AMC=\angle MCA.$$

Угол $$\angle AMC$$ состоит из углов $$\angle BMA$$ и $$\angle BMC$$, значит

$$\angle AMC=17^\circ+30^\circ=47^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle MCA=47^\circ.$$

Тогда искомый угол

$$\angle BCM=\angle BCA+\angle ACM=60^\circ+47^\circ=107^\circ.$$