Упр.883 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$. Постройте точку $$D$$ на прямой $$AB$$, не лежащую на отрезке $$AB$$, так, чтобы $$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}$$. Всегда ли задача имеет решение?
- Отрезок $$AB$$ является диаметром окружности с центром $$O$$. На каждом радиусе $$OM$$ окружности отложен от центра $$O$$ отрезок, равный расстоянию от конца $$M$$ этого радиуса до прямой $$AB$$. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.
Пусть $$AB$$ — диаметр окружности с центром $$O$$ и радиусом $$R$$. Разместим систему координат так, чтобы точка $$O$$ была началом координат, а прямая $$AB$$ совпадала с осью $$Ox$$. Тогда
$$A(-R,0), \quad B(R,0).$$
Возьмём произвольную точку $$M(x,y)$$ на окружности. Тогда
$$x^2+y^2=R^2.$$
Расстояние от точки $$M$$ до прямой $$AB$$ равно $$|y|$$. По условию на радиусе $$OM$$ откладывается отрезок $$OD$$, равный этому расстоянию, значит точка $$D$$ лежит на луче $$OM$$ и
$$OD=|y|.$$
Так как $$OM=R$$, то точка $$D$$ получается из точки $$M$$ гомотетией с центром в $$O$$ и коэффициентом $$\dfrac{|y|}{R}$$. Поэтому её координаты имеют вид
$$D\left(\frac{|y|}{R}x,\frac{|y|}{R}y\right).$$
Обозначим координаты точки $$D$$ через $$u,v$$. Тогда из подобия и уравнения окружности получаем
$$u^2+v^2=\frac{y^2}{R^2}(x^2+y^2)=\frac{y^2}{R^2}\cdot R^2=y^2,$$
а также
$$v=\frac{y|y|}{R}.$$
Исключая параметры, получаем уравнение множества точек $$D$$:
$$u^2+\left(v-\frac{R}{2}\right)^2=\left(\frac{R}{2}\right)^2$$
и симметричную ему окружность
$$u^2+\left(v+\frac{R}{2}\right)^2=\left(\frac{R}{2}\right)^2.$$
Значит, множество концов построенных отрезков — две окружности радиуса $$\dfrac{R}{2}$$ с центрами в точках $$\left(0,\dfrac{R}{2}\right)$$ и $$\left(0,-\dfrac{R}{2}\right)$$.
Ответ: две окружности радиуса $$\dfrac{R}{2}$$ с центрами на перпендикуляре к $$AB$$, проходящем через $$O$$, на расстоянии $$\dfrac{R}{2}$$ от точки $$O$$.
