Упр.882 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в п раз дальше, чем от другой (n = 2, 3, 4). Через точку А пересечения двух окружностей с центрами в точках О1 и O2 проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке В, а другую — в точке С. Докажите, что отрезок ВС будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой O1O2.

Обозначим расстояния от точки $$X$$ до боковых сторон трапеции $$AB$$ и $$CD$$ через $$XE$$ и $$XF$$, где $$XE \perp AB$$, $$XF \perp CD$$. По условию нужно построить точку $$X \in AD$$ такую, что

$$XE = n \cdot XF,\qquad n=2,3,4.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle AEX$$ и $$\triangle DFX$$. Так как трапеция равнобедренная, то $$\angle A = \angle D$$. Кроме того, $$\angle AEX = \angle DFX = 90^\circ$$. Следовательно,

$$\triangle AEX \sim \triangle DFX$$

по двум углам. Тогда

$$\frac{XE}{XF}=\frac{AX}{XD}=n,$$

откуда

$$AX=n\cdot XD.$$

Значит, задача сводится к делению отрезка $$AD$$ на $$n+1$$ равных частей: искомая точка $$X$$ должна делить $$AD$$ в отношении $$AX:XD=n:1$$.

Построение.

1. Из точки $$A$$ проведём произвольный луч $$AM$$, не совпадающий с прямой $$AD$$.
2. На луче $$AM$$ отложим $$n+1$$ равных отрезков:
   $$AA_1=A_1A_2=\dots=A_{n-1}A_n=A_nA_{n+1}.$$
3. Соединим точки $$A_{n+1}$$ и $$D$$.
4. Через точку $$A_n$$ проведём прямую, параллельную $$A_{n+1}D$$. Точка её пересечения с $$AD$$ и есть искомая точка $$X$$.

Действительно, по теореме Фалеса получаем

$$AX:XD=n:1,$$

а значит,

$$d(X,AB)=n\cdot d(X,CD).$$

Ответ

Искомая точка $$X$$ строится делением отрезка $$AD$$ в отношении $$AX:XD=n:1$$ с помощью теоремы Фалеса.