Упр.882 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в $$n$$ раз дальше, чем от другой ($$n=2,3,4$$).
2. Через точку $$A$$ пересечения двух окружностей с центрами в точках $$O_1$$ и $$O_2$$ проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке $$B$$, а другую — в точке $$C$$. Докажите, что отрезок $$BC$$ будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой $$O_1O_2$$.

Пусть прямая $$BC$$ проходит через точку $$A$$ пересечения окружностей с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ и пересекает первую окружность в точке $$B$$, а вторую — в точке $$C$$. Обозначим через $$H_1$$ и $$H_2$$ основания перпендикуляров из $$O_1$$ и $$O_2$$ на прямую $$BC$$.

Тогда $$O_1H_1 \perp BC$$ и $$O_2H_2 \perp BC$$. Рассмотрим треугольники $$\triangle BAO_1$$ и $$\triangle ACO_2$$. Так как $$O_1A=O_1B$$ и $$O_2A=O_2C$$, то они равнобедренные, а значит, высоты $$O_1H_1$$ и $$O_2H_2$$ являются также медианами. Следовательно,

$$H_1A=\frac{1}{2}BA,\qquad H_2A=\frac{1}{2}AC.$$

Отсюда

$$BC=BA+AC=2H_1A+2H_2A=2\bigl(H_1A+H_2A\bigr).$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$H_1O_1O_2H_2$$. Это прямоугольная трапеция, у которой расстояние между прямыми $$O_1O_2$$ и $$BC$$ равно $$H_1H_2$$. При фиксированном расстоянии $$O_1O_2$$ длина отрезка $$BC$$ тем больше, чем больше $$H_1H_2$$.

Но

$$H_1H_2=\sqrt{(O_1O_2)^2-(H_1O_1-H_2O_2)^2}.$$

Значит, $$H_1H_2$$ наибольшее тогда и только тогда, когда

$$H_1O_1=H_2O_2,$$

то есть когда прямая $$BC$$ перпендикулярна отрезку $$O_1O_2$$. Следовательно, $$BC \parallel O_1O_2$$.

Итак, отрезок $$BC$$ будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой $$O_1O_2$$.

Ответ: $$BC \parallel O_1O_2$$.