Упр.881 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Через вершину $$A$$ параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая прямые $$BD$$, $$CD$$ и $$BC$$ соответственно в точках $$M$$, $$N$$ и $$P$$. Докажите, что отрезок $$AM$$ является средним пропорциональным между $$MN$$ и $$MP$$.
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что для всех хорд $$AB$$ данной окружности величина $$\frac{AB^2}{AD}$$, где $$AD$$ — расстояние от точки $$A$$ до касательной в точке $$B$$, имеет одно и то же значение.
Обозначим $$AB=a,$$ $$AD=BC=b.$$
Рассмотрим треугольники $$BAM$$ и $$DNM.$$
Так как $$AB \parallel DN$$ и $$BM \parallel DM$$, то $$\angle BAM=\angle DNM$$ и $$\angle BMA=\angle DMN.$$ Следовательно,
$$\triangle BAM \sim \triangle DNM.$$
Из подобия получаем
$$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{DN}.$$
Но $$DN=NC+CD=NC+a,$$ значит
$$\frac{AM}{MN}=\frac{a}{a+NC}.$$
Отсюда
$$\frac{MN}{AM}=1+\frac{NC}{a}.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$BMP$$ и $$DMA.$$
Так как $$BP \parallel AD$$ и $$BM \parallel DM,$$ то $$\angle BPM=\angle DAM$$ и $$\angle BMP=\angle DMA.$$ Следовательно,
$$\triangle BMP \sim \triangle DMA.$$
Из подобия имеем
$$\frac{MP}{AM}=\frac{BP}{AD}.$$
Так как $$BP=BC-PC=b-PC,$$ то
$$MP=\frac{b-PC}{b}\,AM=\left(1-\frac{PC}{b}\right)AM.$$
Поскольку $$PC \parallel AD,$$ то по теореме Фалеса
$$\frac{AP}{PN}=\frac{AD}{DC}=\frac{b}{a}.$$
Отсюда
$$\frac{PC}{AD}=\frac{NP}{AN},$$
то есть
$$\frac{PC}{b}=\frac{NP}{AN}.$$
Тогда
$$MP=\left(1-\frac{NP}{AN}\right)AM=\frac{AN-NP}{AN}\,AM.$$
Но $$AN=AP+PN,$$ значит $$AN-NP=AP,$$ и потому
$$MP=\frac{AP}{AN}AM.$$
Из соотношения для точки $$P$$ также получаем
$$\frac{NP}{AP}=\frac{MN}{AM}.$$
Тогда
$$\frac{MN}{AM}=\frac{AN}{AP}.$$
Следовательно,
$$\frac{AM}{MN}=\frac{AP}{AN}.$$
Сравнивая это с формулой для $$MP,$$ получаем
$$MP=\frac{AP}{AN}AM=\frac{AM^2}{MN}.$$
Значит,
$$AM^2=MN\cdot MP,$$
то есть
$$AM=\sqrt{MN\cdot MP}.$$
Ответ
$$AM=\sqrt{MN\cdot MP}.$$
