Упр.880 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике ABC прямая, проходящая через вершину А и делящая медиану ВМ в отношении 1 : 2, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площадей треугольников АВК и ABC. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Подробный ответ

Пусть прямая, проходящая через вершину $$A$$, пересекает медиану $$BM$$ в точке $$D$$, причём $$BD:DM=1:2$$. Проведём через точку $$M$$ прямую $$ME$$, параллельную $$AK$$, где $$E\in BC$$.

Так как $$M$$ — середина стороны $$AC$$, то $$ME$$ — средняя линия треугольника $$AKC$$. Следовательно, $$E$$ — середина $$KC$$, то есть $$KE=EC$$.

Рассмотрим треугольник $$MBC$$. Прямая $$AD$$ пересекает его стороны $$MB$$ и $$BC$$ в точках $$D$$ и $$K$$, а прямая $$ME$$ параллельна $$AK$$. По теореме Фалеса для отрезков, отсекаемых параллельными прямыми, получаем:

$$\frac{BD}{DM}=\frac{BK}{KE}.$$

Так как $$BD:DM=1:2$$, то

$$BK:KE=1:2.$$

Но $$KE=EC$$, значит

$$BK:KE:EC=1:2:2.$$

Отсюда

$$BK=\frac{1}{5}BC.$$

Треугольники $$ABK$$ и $$ABC$$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

$$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{5}.$$