Упр.880 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ прямая, проходящая через вершину $$A$$ и делящая медиану $$BM$$ в отношении $$1:2$$, считая от вершины, пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Найдите отношение площадей треугольников $$ABK$$ и $$ABC$$.
2. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Пусть $$M$$ — середина стороны $$AC$$, тогда $$BM$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Проведём через точку $$A$$ прямую, пересекающую $$BM$$ в точке $$D$$ и сторону $$BC$$ в точке $$K$$, причём $$BD:DM=1:2$$.

Проведём через точку $$M$$ прямую $$ME$$, параллельную $$AK$$, где $$E \in BC$$. Тогда в треугольнике $$AKC$$ отрезок $$ME$$ — средняя линия, значит

$$KE=EC.$$

Рассмотрим треугольник $$MBC$$. Прямая $$ADK$$ пересекает его стороны $$MB$$ и $$BC$$ в точках $$D$$ и $$K$$, а прямая $$ME$$ параллельна $$AK$$. По теореме Фалеса для отрезков, отсекаемых параллельными прямыми, получаем

$$\frac{BD}{DM}=\frac{BK}{KE}.$$

Так как $$BD:DM=1:2$$, то

$$BK:KE=1:2.$$

А поскольку $$KE=EC$$, имеем

$$BK:KE:EC=1:2:2,$$

откуда

$$BK=\frac{1}{5}BC.$$

Треугольники $$ABK$$ и $$ABC$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому их площади относятся как основания:

$$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{5}.$$

Ответ: $$\frac{1}{5}$$.