Упр.879 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Стороны треугольника $EFG$ соответственно равны медианам треугольника $ABC$. Докажите, что $$\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}}=\frac{3}{4}$$.
Точки $B_1$ и $C_1$ — середины дуг $AB$ и $AC$ (рис. 271). Докажите, что $$AM=AN$$.

Подробный ответ

Пусть $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$. Тогда

$$\overset{\frown}{AB_1}=\overset{\frown}{B_1B}=\frac12\overset{\frown}{AB},\qquad \overset{\frown}{AC_1}=\overset{\frown}{C_1C}=\frac12\overset{\frown}{AC}.$$

Из равенства дуг следует равенство соответствующих вписанных углов:

$$\angle B_1AB=\angle B_1BA=\angle B_1C_1A,$$
$$\angle C_1AC=\angle C_1CA=\angle C_1B_1A.$$

Пусть $$M=AB_1\cap AC_1$$, а $$N=AC\cap B_1C_1$$. Тогда

$$\angle AB_1M=\angle C_1AN,\qquad \angle B_1AM=\angle AC_1N,$$

значит, $$\angle AMB_1=\angle ANC_1$$. Следовательно, $$\triangle AMB_1 \sim \triangle ANC_1$$.

Так как $$\overset{\frown}{AB_1}=\overset{\frown}{B_1B}$$ и $$\overset{\frown}{AC_1}=\overset{\frown}{C_1C}$$, то

$$\angle AB_1M=\angle C_1AN,\qquad \angle B_1AM=\angle AC_1N,$$

а значит, соответствующие стороны равны, и треугольник $$AMN$$ равнобедренный. Поэтому

$$AM=AN.$$

Ответ: $$AM=AN$$.