Упр.878 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$, сторона $$AC$$ которого в два раза больше стороны $$BC$$, проведены биссектриса $$CM$$ и биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$, пересекающая прямую $$AB$$ в точке $$K$$. Докажите, что $$S_{BCM}=\frac{1}{2}S_{ACM}=\frac{1}{3}S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{CMK}$$.
- Прямая $$AC$$ — касательная к окружности с центром $$O_1$$, а прямая $$BD$$ — касательная к окружности с центром $$O_2$$ (рис. 270). Докажите, что:
а) $$AD\parallel BC$$;
б) $$AB^2=AD\cdot BC$$;
в) $$\frac{BD^2}{AC^2}=\frac{AD}{BC}$$.
Пусть $$BC=a,$$ тогда $$AC=2a.$$ Обозначим через $$H$$ основание высоты из точки $$C$$ на прямую $$AB$$. Тогда для треугольников $$BCM,$$ $$ACM$$ и $$CMK$$ высота одна и та же, поэтому отношение их площадей равно отношению соответствующих оснований на прямой $$AB$$.
По теореме о биссектрисе в треугольнике $$ABC$$ имеем
$$\frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{2a}{a}=2,$$
значит, $$AM=2BM$$ и
$$AB=AM+BM=3BM,$$
откуда
$$BM=\frac13AB,\qquad AM=\frac23AB.$$
Следовательно,
$$S_{BCM}:S_{ACM}=BM:AM=1:2,$$
то есть
$$S_{BCM}=\frac12S_{ACM}.$$
Кроме того,
$$S_{ACM}:S_{ABC}=AM:AB=\frac23,$$
значит,
$$S_{BCM}=\frac12S_{ACM}=\frac13S_{ABC}.$$
Теперь рассмотрим биссектрису внешнего угла при вершине $$C$$, пересекающую прямую $$AB$$ в точке $$K$$. По теореме о биссектрисе внешнего угла
$$\frac{BK}{AK}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac12,$$
следовательно, $$AK=2BK.$$ Так как точки $$A,B,K$$ лежат на одной прямой и $$B$$ между $$A$$ и $$K$$, то
$$AK=AB+BK.$$
Подставляя $$AK=2BK,$$ получаем
$$2BK=AB+BK,\qquad BK=AB.$$
Тогда
$$AK=2AB,$$
а значит,
$$KM=AK-AM=2AB-\frac23AB=\frac43AB.$$
С другой стороны,
$$BM=\frac13AB,$$
поэтому
$$KM=4BM.$$
Так как треугольники $$BCM$$ и $$CMK$$ имеют общую высоту из точки $$C$$ к прямой $$AB,$$ то
$$\frac{S_{BCM}}{S_{CMK}}=\frac{BM}{MK}=\frac14,$$
то есть
$$S_{BCM}=\frac14S_{CMK}.$$
Итак,
$$S_{BCM}=\frac12S_{ACM}=\frac13S_{ABC}=\frac14S_{CMK}.$$
