Упр.877 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
2. Две окружности имеют единственную общую точку $$M$$. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках $$A$$ и $$A_1$$, а другую — в точках $$B$$ и $$B_1$$. Докажите, что $$AA_1 \parallel BB_1$$.

Рассмотрим две окружности, имеющие единственную общую точку $$M$$. Проведём через точку $$M$$ секущие $$AA_1$$ и $$BB_1$$.

Проведём через $$M$$ общую касательную $$CD$$ к обеим окружностям. Тогда по теореме о касательной и секущей получаем:

$$\angle A_1MD=\frac12 \overset{\frown}{A_1M}, \qquad \angle B_1MD=\frac12 \overset{\frown}{B_1M}$$

Аналогично для другой секущей:

$$\angle AMD=\frac12 \overset{\frown}{AM}, \qquad \angle BMD=\frac12 \overset{\frown}{BM}$$

Так как точки $$A, A_1, M$$ лежат на одной секущей, а точки $$B, B_1, M$$ — на другой, то соответствующие дуги равны, следовательно, равны и углы, образованные секущими с касательной:

$$\angle A_1MD=\angle B_1MD$$

Отсюда

$$\overset{\frown}{A_1M}=\overset{\frown}{B_1M}$$

Значит, равны и углы, опирающиеся на эти дуги:

$$\angle AAM=\angle BB_1M$$

Поскольку $$AB$$ — секущая, то эти углы являются накрест лежащими при прямых $$AA_1$$ и $$BB_1$$. Следовательно,

$$AA_1 \parallel BB_1$$

Ответ: $$AA_1 \parallel BB_1$$.