Упр.876 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ соединяют вершины треугольника $$ABC$$ с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
- Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1\in BC,$$ $$B_1\in AC,$$ $$C_1\in AB$$ — внутренние точки соответствующих сторон, а $$M,$$ $$N,$$ $$K$$ — середины отрезков $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$.
Докажем, что точки $$M,$$ $$N,$$ $$K$$ не лежат на одной прямой.
Проведём через середины сторон треугольника средние линии:
если $$D$$, $$E$$, $$F$$ — середины сторон $$AB,$$ $$BC,$$ $$AC$$ соответственно, то
$$DE \parallel AC,\qquad EF \parallel AB,\qquad DF \parallel BC.$$
Так как $$M$$ — середина отрезка $$AA_1$$, а $$A_1\in BC,$$ то при перемещении точки $$A_1$$ по стороне $$BC$$ точка $$M$$ будет перемещаться по средней линии $$DF$$. Аналогично, точка $$N$$ будет перемещаться по средней линии $$DE,$$ а точка $$K$$ — по средней линии $$EF$$.
Предположим, что точки $$M,$$ $$N,$$ $$K$$ лежат на одной прямой. Тогда прямые, на которых они лежат, совпадают, а значит, и точки $$D,$$ $$E,$$ $$F$$ лежат на одной прямой. Но точки $$D,$$ $$E,$$ $$F$$ — середины сторон треугольника, и они не могут лежать на одной прямой, так как тогда стороны треугольника оказались бы параллельны и треугольник не существовал бы.
Получили противоречие. Следовательно, точки $$M,$$ $$N,$$ $$K$$ не лежат на одной прямой.
