Упр.875 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Из вершины $$A$$ треугольника $$ABC$$ проведены перпендикуляры $$AM$$ и $$AK$$ к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах $$B$$ и $$C$$. Докажите, что отрезок $$MK$$ равен половине периметра треугольника $$ABC$$.
- Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.
Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ пересекают прямую $$MK$$ в точках $$F$$ и $$G$$ соответственно, а $$D=MK\cap AB$$, $$E=MK\cap AC$$.
Так как $$AM\perp OB$$ и $$OB$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$B$$, то $$OB\perp BF$$. Следовательно, $$BF\parallel AM$$. Аналогично из $$AK\perp OC$$ и того, что $$OC$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$, получаем $$CG\parallel AK$$.
Рассмотрим треугольник $$FBA$$. Прямая $$OB$$ является биссектрисой внешнего угла, значит $$BF=BA$$, а так как $$FM\parallel AB$$ и $$AM\perp BF$$, то четырёхугольник $$AFBM$$ — прямоугольник с равными смежными сторонами, откуда $$FM=MA$$.
Аналогично для треугольника $$ACG$$ имеем $$CG=CA$$ и $$KG=KA$$.
Теперь в четырёхугольнике $$FBCG$$ стороны $$FB$$ и $$CG$$ равны соответственно $$AB$$ и $$AC$$, а отрезки $$FM$$ и $$KG$$ равны $$AM$$ и $$AK$$. Поэтому
$$FG=FB+BC+CG=AB+BC+AC.$$
Кроме того, отрезок $$MK$$ соединяет середины боковых сторон трапеции, поэтому он является средней линией соответствующего треугольника с основанием $$FG$$. Следовательно,
$$MK=\frac{FG}{2}.$$
Подставляя найденное значение $$FG$$, получаем
$$MK=\frac{AB+BC+AC}{2}.$$
Что и требовалось доказать.
