Упр.874 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагонали трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Треугольник $$ABO$$, где $$AB$$ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков $$OA$$, $$OD$$ и $$BC$$, равносторонний.
- Постройте треугольник по трём высотам.
Обозначим $$OA=OB=AB=a,$$ $$CD=b.$$
Проведём через точку $$K$$ прямую, параллельную $$CD$$, и пусть она пересекает $$OC$$ в точке $$E$$. Тогда $$KE \parallel AB$$, а углы $$\angle AOB$$ и $$\angle KOE$$ равны как вертикальные. Следовательно, $$\triangle KOE \sim \triangle BOA$$ по двум углам.
Так как $$\triangle BOA$$ равносторонний, то $$\triangle KOE$$ тоже равносторонний. Значит,
$$KO=OE=KE.$$
Но $$KE$$ — средняя линия треугольника $$DOC$$, поэтому
$$KE=\frac{1}{2}CD=\frac{b}{2}.$$
Следовательно,
$$KO=OE=\frac{b}{2}.$$
Аналогично из подобия $$\triangle DOC \sim \triangle BOA$$ получаем, что $$\triangle DOC$$ равносторонний, значит
$$OC=OD=CD=b.$$
Тогда $$\triangle DOA \cong \triangle COB$$ по двум сторонам и вертикальному углу, откуда
$$OA=OB,\quad OD=OC.$$
Пусть $$N$$ — середина отрезка $$BC$$. Тогда $$NE$$ — средняя линия треугольника $$COB$$, значит
$$NE=\frac{1}{2}OB=\frac{a}{2}, \qquad NE \parallel OB.$$
Следовательно, $$\angle NEO=\angle BOA=60^\circ.$$
Так как $$K$$ — середина $$OD$$, а $$M$$ — середина $$OA$$, то
$$KO=\frac{b}{2}, \qquad OM=\frac{a}{2}.$$
Кроме того, из равносторонности соответствующих треугольников получаем
$$\angle KOM=\angle KEN=120^\circ.$$
Тогда треугольники $$KOM$$ и $$KEN$$ равны, откуда
$$KM=KN.$$
Теперь рассмотрим угол $$\angle MKN$$:
$$\angle MKN=\angle OKE+\angle MKO-\angle NKE=60^\circ.$$
Итак, в треугольнике $$MKN$$ две стороны равны:
$$KM=KN,$$
а угол между ними равен $$60^\circ$$. Значит, треугольник $$MKN$$ равносторонний.
Ответ
Треугольник, вершинами которого являются середины отрезков $$OA$$, $$OD$$ и $$BC$$, равносторонний.
