Упр.873 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
2. Постройте треугольник $$ABC$$, если даны $$\angle A$$, $$\angle C$$ и отрезок, равный сумме стороны $$AC$$ и высоты $$BH$$.

Пусть в четырёхугольнике $$ABCD$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Тогда

$$AM=MB,\qquad CN=ND.$$

Проведём через точки $$M$$ и $$N$$ прямую и обозначим её длину через $$MN$$. По условию

$$MN=\frac{AB+CD}{2}.$$

Рассмотрим два возможных случая.

1. Если $$AB\parallel CD$$, то отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, равен полусумме оснований. Значит, четырёхугольник $$ABCD$$ является трапецией.

2. Если $$AB$$ и $$CD$$ не параллельны, то равенство

   $$MN=\frac{AB+CD}{2}$$

   возможно только в случае, когда противоположные стороны попарно параллельны, то есть

   $$AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD.$$

   Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм.

Следовательно, если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.