Упр.872 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
2. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ точки $$M$$, $$N$$, $$P$$, $$Q$$ — середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$, $$DA$$ соответственно. Тогда по свойству средней линии в треугольниках

$$MP \le \frac{AD+BC}{2}, \qquad NQ \le \frac{AB+CD}{2}.$$

Сложим эти неравенства:

$$MP+NQ \le \frac{AB+BC+CD+AD}{2}.$$

По условию

$$MP+NQ=\frac{AB+BC+CD+AD}{2},$$

значит, в обоих неравенствах должно быть равенство. Следовательно,

$$MP=\frac{AD+BC}{2}, \qquad NQ=\frac{AB+CD}{2}.$$

Равенство в неравенстве для средней линии возможно только тогда, когда соответствующие стороны параллельны. Поэтому из равенства $$MP=\frac{AD+BC}{2}$$ получаем $$AD \parallel BC$$, а из равенства $$NQ=\frac{AB+CD}{2}$$ получаем $$AB \parallel CD$$.

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон параллельны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ: $$ABCD$$ — параллелограмм.